Homéomorphisme

[Davidmaths]

Bonjour,

J'ai une question qui me pose problème.
Soient f : tel que et la topologie euclidienne.
Vous déterminerez une topologie pour laquelle f est un homéomorphisme.

J'ai commencé comme ceci :

Une application continue f : est un homémorphisme s'il existe une application continue tel que et

Donc, ici tel que

Mais je ne vois pas comment on peut choisir .
Si quelqu'un a une idée je suis preneur !

Bien cordialement

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Vois-tu que ?

[Davidmaths]

Je le "sens" mais je ne sais pas l'expliquer

[Davidmaths]

Bonjour,

Je me permets de mettre mes "avancements".

Je me suis penchée sur la piste de .

Je n'arrive pas à le rédiger correctement mais l'idée est que :

tel que
et
tel que

et si on prend alors
Si quelqu'un a une rédaction plus rigoureuse je suis preneur !

De plus, est continue et comme alors est continue
Enfin est bijective car pour tout avec possède une unique solution.

Donc de dans est un homéomorphisme (car f est bijective, et que les applications f et sont continues)

Mais là je ne sais pas comment choisir

[GaBuZoMeu]

Tu aurais pu remarque que pour tout élément .

[Davidmaths]

Exacte !

donc

Mais du coup on me demande de trouver pour laquelle f est un homéomorphisme mais comment le choisir ?

J'avais pensé peut-être à la topologie grossière ...

[GaBuZoMeu]

Mauvaise idée ...

[Davidmaths]

En fait je ne vois as qu'est-ce qu'il va déterminer ma topologie , pouvez-vous m'expliquer s'il vous plaît ?

[mathelot]

bonsoir
essaye de montrer que , c'est à dire que les deux topologies ont les mêmes ouverts.

quelles sont les relations entre les topologies (inclusion) si f est continue ?

[Davidmaths]

Bonsoir,

Montrons que ,
c'est à dire montrons que et ont les mêmes ouverts.

On a montré que
Par conséquent f est bijective (je ne sais pas si j'emploie les bon termes)
c'est-à-dire que tout élément appartenant à appartient à
autrement dit tout ouvert de appartient aussi à
Par conséquent, les deux topologies ont les mêmes ouverts.

(Je ne sais pas si je me suis bien exprimé, vous pouvez me reprendre)

Si f est continue alors l'image réciproque d'un ouvert est ouvert c'est à dire :
pour tout

Edit: peut-être dois-je montrer que si f est bijectif et ouvert (ou fermé) alors f est un homéomorphisme ?

[Davidmaths]

Excusez moi , mais j'ai un doute ! Vous me demandez de montrer que la topologie que je cherche est , autrement dit : , n'est-ce pas ?

Or et c'est évident que f est bijective.
Donc il y a bien un homéomorphisme pour la topologie image inverse ?