Module simple / semi-simple

[damien19039]

Salut!

Quelqu'un a une idée de comment prouver que C[x]/(x-1) est un C[x]-module simple.

Un grand Merci!!

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

On ne peut plus simple, puisqu'il est isomorphe à !

[damien19039]

Merci pour ta réponse rapide GaBuZoMeu, Mais je n'ai pas très bien compris ta réponse, peux tu expliquer plus en détails ?
Si on remplace le x-1 par x^2 ca ne sera plus un module simple dans ce cas, y a-t-il moyen de le prouver ?

[GaBuZoMeu]

J'aurais peut-être dû préciser que est isomorphe en tant que -module à où agit comme l'identité (multiplication par 1). Autrement dit, .
Maintenant, réfléchis : peux-tu trouver un sous--module de qui ne soit pas ou lui-même ? (Indication : un -module est en particulier un -espace vectoriel.)

Pour , je te laisse trouver un sous-module différent de et de lui-même (il y en a un seul). Ça prouvera qu'il n'est pas simple. Et ça ne sera pas loin de prouver qu'il n'est pas non plus semi-simple.

[damien19039]

Ah! Merci maintenant c'est plus clair pour le premier !
J'avais trouver pour le x^2 entre temps !

Merci encore pour tes réponses !

[damien19039]

Et y a-t-il moyen par hasard de determiner 'tous' les C[x]-modules simples ?

[GaBuZoMeu]

Oui. Je te laisse y réfléchir, avec l'indication : un module simple est nécessairement monogène.

[damien19039]

Peux-tu me guider encore un peu ? je ne trouve toujours pas ..

[GaBuZoMeu]

Un -module monogène est le quotient de par un idéal. Et je suppose que tu sais comment sont faits les idéaux de .

[damien19039]

Merci pour l'aide, j'ai su terminer la question !

[GaBuZoMeu]

Avec plaisir.