Endomorphisme semi simple et classe de similitude

[superkader5]

Bonsoir, je suppose u un endomorphisme semi-simple je veux montrer que Ou={gug^-1/ g dans GL(V)} est fermé.

Je sais d'apres un lemme qui se démontre facilement que Ou={v endomorphisme/Pu=Pv Qu=Qv} avec Pu polynome caractéristique de u
et Qu polynome minimal de u.

Pourquoi c'est équivalent a montrer que u=gvg^-1? Merci

[Nightmare]

Salut,

La condition Pu=Pv se traduit par avec qui est continue.

De même, Qu=Qv se traduit par mais n'est pas continue...

Par contre, on remarque que si Qu annule v, Qv divise Qu mais Pu=Pv entraine alors que Qv=Qu. Autrement dit Qv=Qu équivaut à et Q_u est bien continue.

Tu en déduis que Ou est l'intersection de l'image réciproque de deux fermés par des applications continues, donc un fermé.

[Joker62]

Sinon en langage "classe de similitudes" on est juste entrain de dire qu'on peut régler le problème à une classe de conjugaison près.

Et ton problème revient en fait à dire que le polynôme minimal et caractéristique caractérisent les invariants de u.
Ce qui est bien sûr faux en général ( sauf en dim <= 3 )

Donc si tu connais un peu les propriétés des endos semi-simples, tu sais que le polynôme minimal est un produit de facteur irréductible simple : Q1Q2...QN
Que le polynôme caractéristique est donc de la forme X_u = Q1^i1 . Q2^i2 ... QN^iN

En notant P1, ... Pr les invariants de similitudes de u avec Pi | Pi+1 on a Q1...QN = Pr
Et P1..Pr = X_u et j'imagine que par des considérations arithmétiques on peut arriver au bout des choses :)