Petit problème de math

[Joaooo]

Bonjour pourriez vous m’aider à résoudre le problème suivant :
Avec : a_{n}=(2-2n)/(2n-1)

Justifier : (a_{1}+1)(a_{2}+1)+(a_{2}+1)(a_{3}+1)+...+(a_{n}+1)(a_{n+1}+1) < 1/2

Merci de votre aide !

[fatal_error]

hello

as tu calculé quelques termes de ta justification?

[Joaooo]

hello

as tu calculé quelques termes de ta justification?

Oui bien sûr :
( a_{1}+1)(a_{2}+1) = 1/3
(a_{2}+1)(a_{3}+1) = 1/15
(a_{n}+1)(a_{n+1}+1) = (1)/[(2_{n}-1)*(2_{n+1}-1)]

Et voilà où j’en suis...
Merci de ton aide

[fatal_error]

peut être voulais tu écrire
... < 1/2 et non > 1/2 alors ?

[Joaooo]

peut être voulais tu écrire
... < 1/2 et non > 1/2 alors ?

A oui c’est exact xD

[Joaooo]

peut être voulais tu écrire
... < 1/2 et non > 1/2 alors ?

Du coup j’ai réécrit xD désolé pour la faute

[lyceen95]

On a une somme de n termes. On veut montrer que cette somme est inférieure à 1/2.
Si par hasard, chacun des termes de la somme était inférieur à 1/2n, alors ce serait résolu. Est-ce le cas ?

... Non.

Bon, cherchons une 2ème piste.
Pour montrer que cette somme est inférieure à 1/2 , on peut essayer de montrer que 2 fois cette somme est inférieur à 1 (oui je sais , ça a l'air idiot).
Et pour simplifier les écritures et les calculs, je vais définir une autre variable :
On écrit cette somme, dans l'ordre comme dans l'énoncé.
Et en-dessous, on écrit à nouveau la somme, mais en ordonnant les termes dans l'autre ordre.

Et on additionne les termes 2 à 2 : (le premier + le dernier)
Puis ( le 2ème + l'avant dernier)
et de manière générale,

Si on arrive à prouver que chacun de ces termes est inférieur à 1/n , alors c'est bon, on a résolu l'exercice.

J'ai pu me tromper sur les indices... mais la piste est là.

[fatal_error]

Je pense que c'est pas ce qui est attendu mais on peut calculer bêtement:


d'où

Si on pose
Alors on a la récurrence linéaire

La solution est donnée par
avec la solution de l'eq homogène idem , C une constante
et une solution particulière est donnée par

Pour fixer C, on impose (de sorte que )
et on obtient

d'où le terme général


On a alors pour n > 0,

[Black Jack]

Salut,

Pareil que fatal_error jusque (a(n)+1 )*(a(n+1) + 1) = 1/(4n²-1)
On démontre ensuite (classique) que 1/(4n²-1) < 1/(2n) pour tout n >= 1 (simple étude des variations d'une fonction)

Et donc la somme des n termes est < n * (1/(2n))
soit donc < 1/2

[Joaooo]

Je pense que c'est pas ce qui est attendu mais on peut calculer bêtement:


d'où

Si on pose
Alors on a la récurrence linéaire

La solution est donnée par
avec la solution de l'eq homogène idem , C une constante
et une solution particulière est donnée par

Pour fixer C, on impose (de sorte que )
et on obtient

d'où le terme général


On a alors pour n > 0,

Oui, comme tu l’as dit je ne suis pas sûr que c’est la réponse attendue mais merci quand même ! En revanche je n’ai pas compris la partie avec la Constante...

[Joaooo]

Salut,

Pareil que fatal_error jusque (a(n)+1 )*(a(n+1) + 1) = 1/(4n²-1)
On démontre ensuite (classique) que 1/(4n²-1) < 1/(2n) pour tout n >= 1 (simple étude des variations d'une fonction)

Et donc la somme des n termes est < n * (1/(2n))
soit donc < 1/2

Ah voila je pense que c’est la réponse attendue Mercii a vous trois pour votre aide !