Dimensions

[Ilham]

Bonjour à tout
Pouvez-vous m'aider dans cet exercice
E1={P€R3[x] | P(x^2)=P(x).x^2}
E2={P€R3[X] | P(-1)=P(2)}
1-Déterminer la dimension de E1
2-déterminer une base de E2. En déduire sa dimension.
3-on propose une autre méthode pour déterminer la dimension de E2:démontrer que E2 est le noyau d'une forme linéaire
4-démontrer que E1 et E2 sont supplémentaires dans R3
........
Pour la Q1:
P(x)=a+bx+cx^2 +dx^3
P€R3[x] donc il vérifie P(x^2)=P(x).x^2
J'ai fais des calculs et j'obtient
-a+(a-b)x^2 +bx^3 =0 donc comment je vais conclure la dimension ?
PourQ2
P(x)=a+bx+cx^2 +dx^3
P(-1)=P(2) donc a-b+c-d=a+2b+4c+8d
3b+3c+9d=0
b+c+3d=0
b=-c-3d
Et donc P(x)=a-cx-3dx+cx^2 +dx^3
=a+c(x^2 -x)+d(x^3 -3x)
Donc on a deux polynome de degré différent et alors la base est construit par ces 2 polynomes ??
Pour la Q3 j'arrive pas à la résoudre
Merci d'avance^^

[GaBuZoMeu]

Montre tes calculs pour la question 1.

[Ilham]

P(x^2)=P(x).x^2
a+bx^2 +cx^4+dx^6 = ax^2+bx^3 +cx^4 +dx^5
Ah je trouve que j'ai commis une erreur j'ai pas fait attention mes calculs sont faux
Car au lieu de dx^5 j'ai noté dx^6

[GaBuZoMeu]

N'oublie pas que deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont mêmes coefficients.
Regarde les coefficients des différentes puissances de x des deux côtés.

[Ilham]

Donc a,b et d vont s'annuler ?
Et il va rester c un réel quelconque ??

[GaBuZoMeu]

On dirait bien. Qu'en conclus-tu pour la dimension de E1 ?

[Ilham]

P(x)=cx^2 donc sa base est réduit au polynome P1(x)=x^2 donc c'est 1 ?

[GaBuZoMeu]

Oui, E1 est le sous-espace engendré par le polynôme x^2, donc il est bien de dimension 1.
Reprends la question 2. Tu as oublié quelque chose dans le détermination de la base. Garde présent à l'esprit que la dimension d'un sous-espace formalise la notion de nombre de degrés de liberté, c.-à-d. du nombre de paramètres indépendants avec lesquels s'expriment les éléments du sous-espace. Ici, combien en as-tu ?

[Ilham]

En a 3 polynome
Donc sa dimension EST 3

[GaBuZoMeu]

Pour la question 3 : tu as déjà écrit la forme linéaire.

[Ilham]

Comment??

[GaBuZoMeu]

Ben regarde bien ce que tu as écrit.

[Ilham]

Cette formed linéaire est p(-1)-p(2) ?

[GaBuZoMeu]

Je dirais plutôt que la forme linéaire est . Et tu as écrit cette forme linéaire (à un facteur constant près) comme fonction des coefficients de .