[Algèbre] démonstration d'un théorème

[shar]

Bonjour, je ne comprend pas la preuve d'un théorème concernant le changement de base:


https://perso.math.u-pem.fr/beaulieu.anne/L1ch6.pdf

Il s'agit du thrm 1.2.1 (page4)

Dans la première démonstration , il est dit que :

La matrice Q est la matrice de idF

et que

La matrice P est la matrice de idE

je ne comprend pas ces affirmations, une matrice de passage d'une base à une autre ne pourrait être la matrice identité que dans le cas d'une homothétie de rapport 1 non?

[Mateo_13]

Bonjour,

la matrice identité est celle que tu connais que si la base de l'espace d'arrivée est la même que celle de la base de départ.

Si ce n'est pas le cas, la matrice de l'identité envoie le premier vecteur de l'ancienne base sur le premier vecteur de la nouvelle base, donc la matrice de passage est celle qui, en colonne, exprime les coordonnées des nouveaux vecteurs de base dans l'ancienne base.

Cordialement,
--
Mateo.

[tournesol]

Bonjour à tous
Voici un autre point de vue:
E est rapporté à la base dite "ancienne base" .
E est rapporté à la base dite "nouvelle base" .
Définissons la matrice de passage P par ses colonnes :
La colonne j est constituée des coordonnées de dans la base
Soit alors u l'endomorphisme de E dont la matrice est P lorsque l'ensemble de départ E est rapporté à la base et l'ensemble d'arrivée E est rapporté à la base .
La colonne j de P est donc constituée des coordonnées de dans la base de l'espace d'arrivée .
Mais ces coordonnées sont par définition celles de dans la base .
Donc et ce pour tout j .
Donc u est l'identité .
Donc P est aussi la matrice de l'identité lorsque l'ensemble de départ E est rapporté à la base et l'ensemble d'arrivée E est rapporté à la base .

[shar]

Merci pour vos réponses, c'est plus clair maintenant.