Géométrie dans l'espace

[Mimi2002]

Bonjour
quelqu'un pourrait il me dire si l'exercice suivant que j'ai résolu est juste ou si j'ai fait une erreur de raisonnement ?

[Exo : Soit x un nombre réel et A,B et C tours points dans un repère orthonormé, de coordonnées A(1;2;-3); B( -1;5;-3) C(-1,1,x) Vrai ou Faux : le triangle ABC est équilatéral si et seulement si x=1.[/i]

J'ai calculé la norme de chacun des vecteurs(AB=4rac(2) et BC=rac(x^2+6x+25) et j'ai eu à résoudre une équation( x^2+6x+25=32) où j'ai trouvé 2 solutions 1 et -7 donc j'ai dit faux : correct?
Merci pour votre aide.

[Mimi2002]

désolée A (3;1;-3)

[Black Jack]

Salut,

Il y a bien 2 solutions (x = 1 et -7)

Cependant, tu n'as calculé que les valeurs de x possibles pour que ||AB|| = ||AC|| ... à partir de la relation ||AB|| = ||AC||

En faisant cela, tu ne fais que trouver les valeurs possibles de x pour que le triangle ABC soit isocèle en A ... ce qui n'est pas suffisant pour démontrer que ce triangle est équilatéral.

Pour que le triangle soit équilatéral, il faut que ||AB|| = ||AC|| = ||BC||

Il te reste donc encore à prouver qu'avec les valeurs de x que tu as trouvées, le coté BC a bien la même longueur que les autres cotés.

Remarque :
Montrer que ||AB|| = ||AC|| = ||BC|| revient à démontrer que ||AB||² = ||AC||² = ||BC||², cela simplifie un peu les calculs.

[Mimi2002]

oui effectivement j'avais bien calculé AC aussi mais j'ai trouvé la même norme que BC.

Ma question primordiale est cela suffit il de dire faux si je trouve 2 valeurs comme il y a le si et seulement si ?
Pas besoin de montrer dans l'autre sens on est d'accord ?

[Black Jack]

Pas vraiment d'accord.

Si tu ne calcules qu'avec 2 cotés, on a 2 valeur de x. (1 et -7)
Tu sais alors que le triangle est isocèle avec ces 2 valeurs de x, mais rien ne permet de dire (sans le démontrer) que le triangle est équilatéral avec ces 2 valeurs de x.

Il faut encore voir si le 3ème coté a aussi la même longueur avec les 2 valeurs trouvées pour x.... il FAUT le vérifier pour conclure.

La réponse est bien FAUX, mais si le prof regarde ta démo, elle ne sera pas admise comme correcte.