Inéquations trigonométriques

[Bastiennn]

Bonjour, j'ai un travail à rendre en algèbre mais je bloque sur une question, j'ai essayé d'utiliser les formules d'Euler pour lineariser l'inequation mais c'est encore pire. Je ne vois pas comment la résoudre :

cos (5x)+cos(3x) <= cos(x)

Si quelqu'un a une idée de la méthode a utiliser je suis preneur

Merci pour vos futur réponse

Bastien

[mathelot]

Bonjour,
il existe une famille de polynômes, nommés , dits polynômes de Tchebyshev de 1ère espèce,
qui vérifient l'égalité suivante:

ie, cos(nx) est un polynôme de la quantité cos(x). n est le degré du polynôme.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3% ... Tchebychev


on a:



en posant , il vient



le polynôme en z se factorise en produits de facteurs du 1er degré, en effet:



on pose (polynôme bi-carré)
a pour solutions
et


on a donc:

[Bastiennn]

D'accord merci pour la réponse rapide , en revanche je ne connaissais pas cette famille de polynôme.

[tournesol]

cos p+cos q= 2cos (p+q)/2 cos(p-q)/2 ton inequation devient
2cos4xcosxcosx soit (cosx)(2cos4x-1)0
Il est alors très facile de continuer .

[mathelot]

il vient:






l'inéquation devient




pour

[tournesol]

Bonjour mathelot , nous travaillons en parallèle .
(cos x )(2cos 4x -1)0 ssi
[cos x0 et 2cos 4x-10] ou [cos x0 et 2cos 4x-10]
ssi il existe k et k' dans Z tels que
[pi/2+2kpix3pi/2+2kpi et pi/3+2k'pi4x3+2k'pi] ou [-pi/2+2kpixpi/2+kpi et pi/3+2k'pi4x5pi/3+2k'pi]
ssi il existe k et k' dans Z tels que
[pi/2+2kpix3pi/2+2kpi et pi/12+k'pi/2x12+k'pi/2] ou [-pi/2+2kpixpi/2+2kpi et pi/12+k'pi/2x5pi/12+k'pi/2]
A ce stade il convient de dessiner un cercle trigo gradué en pi/12 pour representer graphiquement les solutions .On obtient:
[7pi/12 + 2kpi , 9pi/12+2kpi]

[tournesol]

SUITE
[-9pi/12+2kpi,-7pi/12+2kpi] [7pi/12+2kpi,9pi/12+2kpi] [-5pi/12+2kpi,-pi/12+2kpi]

[Bastiennn]

Très bien merci beaucoup pour votre aide

[mathelot]

on range les racines par ordre croissant:



pour

sur on obtient, si S est l'ensemble de toutes les solutions:



En effet, en x=0, l'inégalité est fausse et ensuite comme les racines sont simples , et que le polynôme est localement monotone au voisinage des racines, le polynôme change de signe au passage de chaque racine.

la fonction étant paire, on complète les solutions par symétrie par rapport à zéro puis par périodicité de période

[mathelot]

pour tracer la courbe
https://www.mathe-fa.de/fr

[Black Jack]

Salut,

Il me semble que je n'ai pas les mêmes solutions.

cos(3x) = 4.cos³(x)-3cos(x)

cos(5x) = Re((cos(x) + isin(x)))^5 = cos^5(x) - 10.cos³(x).(1-cos²(x)) + 5.cos(x).(1-cos²(x))²
cos(5x) = cos^5(x) - 10.cos³(x) + 10cos^5(x) + 5.cos(x).(1+cos^4(x)-2cos²(x))
cos(5x) = cos^5(x) - 10.cos³(x) + 10cos^5(x) + 5.cos(x) + 5cos^5(x)- 10cos³(x)
cos(5x) = 16cos^5(x) - 20.cos³(x) + 5.cos(x)

cos(3x) + cos(5x) = 16cos^5(x) - 16.cos³(x) + 2.cos(x)

16cos^5(x) - 16.cos³(x) + 2.cos(x) <= cos(x)

cos(x) = 0 convient,

Si cos(x) diff de 0 --> 16cos^4(x) - 16.cos²(x) + 2 <= 1

16cos^4(x) - 16.cos²(x) + 1 <= 0

Inéquation bicarrée en cos(x) --> facile à résoudre (poser cos²(x) = X)
16X² - 16X + 1 <= 0 (avec X dans ]0 ; 1])

X = [8 +/- V(64 - 16)]/16

X = [8 +/- V48]/16
cos²(x) = [8 +/- 4.V3]/16
cos²(x) = [2 +/- V3]/4
cos(x) = +/-V(2 +/- V3)/2

(cosx) - (2 - V3)/).(cosx) - (4 + V12)/8).(cosx) - (-4 - V12)/8).(cosx) - (-4 + V12)/8) <= 0

(cos(x) - V(2 - V3)/2).(cos(x) - V(2 + V3)/2).(cos(x) + V(2 - V3)/2).(cos(x) + V(2 + V3)/2) <= 0

Tableau de signes ...

- V(2 + V3)/2 <= cos(x) <= - V(2 - V3)/2 OU V(2 - V3)/2 <= cos(x) <= V(2 + V3)/2

x compris dans [Pi/12 ; 5Pi/12] U [Pi/2 ; 7Pi/12] U [11Pi/12 ; Pi] (mod Pi)

[tournesol]

mathelot , je n'ai pas tout à fait les mêmes solutions car je trouve
Connaissant ta fiabilité , j'ai du commettre une erreur , et une autre car après vérifications je trouve:

Je vais tout reprendre .

[mathelot]

mathelot , je n'ai pas tout à fait les mêmes solutions car je trouve
Connaissant ta fiabilité , j'ai du commettre une erreur , et une autre car après vérifications je trouve:

Je vais tout reprendre .

tournesol,pas la peine de reprendre, j'avais oublié la racine pi/2. j'ai corrigé depuis, ce qui fait que je trouve pareil que toi et Black Jack