Devoir Maison en Maths

[Onimech]

Bonjour, ci dessous le sujet de mon dm de maths, je vous expliquerai où j'ai besoin d'explications juste en dessous.
A l'aide d'un logiciel de géométrie, Estelle a construit un cône de sommet B, de hauteur 10 dont la base est le disque de centre A et de rayon AC=6
Elle a ensuite placé un point M sur le segmente [AC], et a inscrit dans le cône un cyliindre dont la base est le disque de centre A et de rayon AM=x

1. Calculer le volume du cône
2. Montrer que, pourt tout réel x tel que 0<=x<=6, le volume du cylindre est donné par :
V(x)=10pix^2*(1-x/6)
3. Dresser le tableau de variations de la fonction V sur l'intervalle [0;6] et montrer qu'elle admet un maximum
4. Montrer qu'il existe exactement deux positions du point M pour lesquelles le volume du cylindre est égal au tiers du volume du cône.
On notera dans la suite alpha et beta avec alpha < beta les deux valeurs de x correspondant à ces positions.



Du coup la question 1 est assez simple le volume est égal à 120pi ou environ 376.99. Mais c'est dès la question 2 que je bloque, je ne vois pas la méthode à appliquer, j'avais une piste sur Thalès mais j'ai un doute
Pour la question 3, la méthode est claire mais la dérivation semble assez complexe à faire, et celle que j'ai trouvé ne fonctionne pas en vérifiant ses signes à la calculatrice,
La question 4, elle, n'a pas l'air très difficile

Pourriez vous, pourquoi pas, m'aider pour trouver la méthode à appliquer pour la question 2 et ce que j'ai fait de mal dans la question 3?
Merci de vos réponses

[Sa Majesté]

Pour t'aider à trouver ton erreur, il faut que tu nous dises ce que tu as fait.
Pour la question 2, tu peux effectivement appliquer le théorème de Thalès pour trouver la hauteur du cylindre en fonction de x.

[titine]

Oui, avec Thales ça marche très bien !
Si tu appelles N le point du cylindre situé sur [BC] tu as : MN/AB = CM/CA
Ce qui te donne MN = 10 × (6-x)/6 = 10 × (1 - x/6)

[titine]

La dérivée n'est pas si compliquée que ça.
V'(x) = 20pix - 5pix^2
Tu peux la trouver soit en utilisant (uv)' = u'v + uv' , soit en commençant par développer V(x) et en dérivant ensuite le polynôme obtenu.

[Onimech]

Oui, avec Thales ça marche très bien !
Si tu appelles N le point du cylindre situé sur [BC] tu as : MN/AB = CM/CA
Ce qui te donne MN = 10 × (6-x)/6 = 10 × (1 - x/6)

D'accord! En fait, j'avais deviné que c'était avec Thalès mais pour moi le triangle qui apparaissait n'était pas le bon

[Onimech]

Et du coup pour la question 4, il faut bien résoudre l'équation V(x)=40pi?
Puisque l'on trouve 120pi pour l'aire du cône

[Sa Majesté]

Oui c'est ça.
Sauf qu'il ne faut pas résoudre l'équation mais montrer, grâce au tableau de variations, que l'équation V(x)=40pi admet exactement 2 solutions sur l'intervalle [0,6].