Produit scalaire

[Jujujuju4]

Bonsoir, voici le sujet de l'exercice sur lequel je bloque :
A et B sont deux points tels que AB=4cm. K est le milieu de AB. On note E l'ensemble des points N tels que NA.NB (deux vecteurs) =5.
1) si ca peut aider on devait justifier que vecteur KA = vecteur -KB

(C'est là que je comprends pas)
2)Démontrer que NA.NB (2 vecteurs) = NK^2 - KA^2 pour tout point N du plan.
(Indications du prof : utilisez 2 fois la relation de chasles pour introduire le point K puis effectuer une double distributivite...)

[LB2]

Bonsoir Jujujuju,

en vecteurs on peut écrire les relations de Chasles en introduisant le point K comme l'a indiqué ton professeur,

NA = NK + KA
NB = NK + KB

Comment développes tu le produit scalaire (NK + KA) (NK + KB) ?

[Jujujuju4]

Tout d'abord, je te remercie sincerement d'avoir pris le temps de me répondre.

Du coup cela va donner NK^2 + NK×KB+ KA×NK+ KA × KB ?

[LB2]

Oui.
Comment utiliser maintenant que vecteur KA = - vecteur KB ?

[Jujujuju4]

NK^2 + NK×KB+ KA× NK + -KB × KB
// // // + -KB^2

[LB2]

Ok, maintenant remplace "+ (-KB^2)" par juste "-KB^2" (définition de la soustraction)

Ensuite, que dire de NK x KB + KA x NK (tout ça en vecteurs bien sur, et le x est le signe du produit scalaire entre deux vecteurs, à ne pas confondre avec la multiplication d'un vecteur par un nombre)

[Jujujuju4]

On remarque que ca s'annule car NK×KB + (-KB)×NK
=NK.KB-NK.KB

Par contre j'ai pas compris pk -(KB^2) = KB^2
(Car au début on avait -KB×KB = -(KB^2)
Et jai pas compris pk on passe de segments (KB,NK...) à des vecteurs

[LB2]

Ok pour la remarque.
Attention attention cependant,
1) Dans tout ce qu'on a fait, tout est vecteur, rien n'est segment.
2) De plus, je n'ai jamais dit que -(KB^2) = KB^2, simplement que l'on écrit - KB^2 au lieu de + (-KB^2)

Du coup c'est bon pour ton exo, non?

[Jujujuju4]

Du coup à la fin on a NK^2 - KB^2
Mais je vois pas en quoi ca montre que ca trouve le produit scalaire NA.NB

[LB2]

Parce que NA . NB est égal à (NK + KA) . (NK + KB)

[Jujujuju4]

Ca fait pas de rapprochements avec une formule du coup on demontre rien là. On a juste développé la formule donnée. Jsp si tu vois ce que je veux dire?

[LB2]

Non tu t'emmêles les pinceaux. Nous avons démontré ce qu'il fallait. A savoir le produit scalaire NA . NB est égal à NK^2-KA^2 pour tout point N.
L'égalité mathématique : Pour tout point N, NA . NB (en vecteurs) = NK^2-KA^2

[Jujujuju4]

Et ça nous a amené a quoi de trouver Nk^2 - KB^2 ?
(Dsl si jsuis chiant mais jcrois que c un peu le fouilli dans mon cerveau)

[LB2]

Il faudrait que tu aies une interprétation géométrique de ce résultat pour que tu comprennes bien
On l'appelle théorème de la médiane

[Jujujuju4]

Merci d'avoir citer le nom du théorème. Je viens de trouver quelques démonstrations qui m'ont aidé à comprendre.
La question 2 c'est bon mais jvais encore devoir te solliciter pour la question 3. Jme debrouillerai pour le reste.

Si tu me permets je t'enverrai ma rédaction pour que tu me corrige.

Merci infiniment en tout cas pour cet éclaircissement !