Suites reelles

[xD55]

Slt tout le monde pouvez vous m aider a resoudre cette exercice
on considere la suite U definie sur N* par
Uₙ=(1/n)∑cos (1/√(n+k)) ( avec k de 1 jusqu'à n )

Montrer que pour tout n ∈ℕ* on a
√(2n)/2 ≤ ∑ (1/√(n+k)) ≤ n/√(n+1)

s il vous aider moi et merci bcp d avance

[titine]

Slt tout le monde pouvez vous m aider a resoudre cette exercice
on considere la suite U definie sur N* par
Uₙ=(1/n)∑cos (1/√(n+k)) ( avec k de 1 jusqu'à n )

Montrer que pour tout n ∈ℕ* on a
√(2n)/2 ≤ ∑ (1/√(n+k)) ≤ n/√(n+1)

s il vous aider moi et merci bcp d avance

∑ (1/√(n+k)) = 1/√(n+1) + 1/√(n+2) + 1/√(n+3) + .... + 1/√(n+n)
Chacun des termes 1/√(n+1) , 1/√(n+2) , 1/√(n+3) + .... est supérieur ou égal à 1/√(n+n) = 1/√(2n) car √(n+1) < √(n+n) et √(n+2) < √(n+n) et ...
D'accord ?
Donc 1/√(n+1) + 1/√(n+2) + 1/√(n+3) + .... + 1/√(n+n) >= 1/√(2n) + 1/√(2n) + ... + 1/√(2n)
Donc 1/√(n+1) + 1/√(n+2) + 1/√(n+3) + .... + 1/√(n+n) >= n * 1/√(2n)
Et n * 1/√(2n) = n /√(2n) = √(2n)/2

Raisonnement analogue pour n/√(n+1) en considérant que chacun des 1/√(n+k) est inférieur ou égal à 1/√(n+1)

[xD55]

merci bcp titine