Algèbre linéaire

[alexpergand]

Bonjour, J'essaie de prouver qu'une famille de vecteurs est une base de R2. mais je ne vois pas comment je peux le faire


Exercice: On considère la base de R2, B1 + {e1,e2} = {(1,0),(0,1)},et la famille B2 suivante B2 = {u1,u2}= {(1,1),(-1,1)}

Question: Justifie que B2 est une base de R2


Si quelqu'un pouvait me donner une piste pour débuter.

Merci d'avance.

[alexpergand]

Bonjour, J'essaie de prouver qu'une famille de vecteurs est une base de R2. mais je ne vois pas comment je peux le faire


Exercice: On considère la base de R2, B1 + {e1,e2} = {(1,0),(0,1)},et la famille B2 suivante B2 = {u1,u2}= {(1,1),(-1,1)}

Question: Justifie que B2 est une base de R2


Si quelqu'un pouvait me donner une piste pour débuter.

Merci d'avance.

[alexpergand]

Bonjour, J'essaie de prouver qu'une famille de vecteurs est une base de R2. mais je ne vois pas comment je peux le faire


Exercice: On considère la base de R2, B1 + {e1,e2} = {(1,0),(0,1)},et la famille B2 suivante B2 = {u1,u2}= {(1,1),(-1,1)}

Question: Justifie que B2 est une base de R2


Si quelqu'un pouvait me donner une piste pour débuter.

Merci d'avance.

[hdci]

Deux possibilités : comme tu as deux vecteurs, tu peux démontrer soit que les deux vecteurs sont libres, soit qu'ils sont générateurs, car en dimension deux, une famille de deux vecteurs est libre ssi elle est génératrice.

Le plus simple est libre : tu montre que

Cela revient à résoudre un système de deux équations à deux inconnues (lambda et mu)

[alexpergand]

Merci pour votre réponse
"Cela revient à résoudre un système de deux équations à deux inconnues (lambda et mu) "
il faut faire comme sa si j'ai bien compris
lambda - mu = 0
mu+lambda = 0

[hdci]

oui c'est ça. Et ce système n'admet qu'une seule solution.

Au passage : on constate que le déterminant de ce système est égal au déterminant des cordonnées des deux vecteurs ; ceci se généralise sans difficulté.
On peut don aller "encore plus vite" : le système est une base ssi le déterminant de la matrice formés par les coordonnées des vecteurs est non nul.

[alexpergand]

Merci encore
Mais j'ai vraiment compris "Au passage : on constate que le déterminant de ce système est égal au déterminant des cordonnées des deux vecteurs ; ceci se généralise sans difficulté."

je vois pas comment parce que la en travaille avec des lambda est des mu

[hdci]

Dans un espace de dimension dans lequel on dispose d'une base, si on a n vecteurs dont les coordonnées sont exprimées dans cette base, savoir si cette famille est une autre base est équivalent à savoir si cette famille est libre.
Ecrire le fait que cette famille est libre revient à faire un système de n équations à n inconnues, chaque équation étant égale à 0.

Ce système admet une solution évidente, celle où toutes les inconnues sont nulles. Pour que cette solution soit unique, il faut et il suffit que le déterminant du système soit non nul.

Or le déterminant du système est exactement le déterminant d'une matrice où chaque colonne correspond aux coordonnée d'un des vecteurs de la famille.

Si tu veux détailler, c'est un très bon exercice de le faire en dimension 2 (en dimension 3 le déterminant est plus complexe, et au delà les formules sont vraiment imbuvables).