FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ

[Aloïs]

Bonjours, bonsoirs j'ai un DM de mathématiques à rendre pour la rentré des vacances mais je ne comprends absolument rien au DM.

Exercice 1: Je pense que les nombres cachés derrière les taches d'encres sont -1, 4 et 8 car c'est quand la courbe passe par l'axe des ordonnées et des abscisses.
Quand a l'exercice 2 je n'ai vraiment rien compris ...



Merci d'avoir lu et de vos futurs réponses.

[danyL]

Exercice 1: Je pense que les nombres cachés derrière les taches d'encres sont -1, 4 et 8 car c'est quand la courbe passe par l'axe des ordonnées et des abscisses.

bonjour
pour l'exercice 1
sur l'image les graduations sont floues même en zoomant
verticalement on devine -2 -4 - 6 -8 -10 -12, c'est bien ça ?
horizontalement on ne distingue rien, quels sont les nombres indiqués ?

mais déja, es-tu sûr(e) de ton 8 ?
f(x) = a x² + b x + c
selon toi :
a = -1
b = 4
c = 8
f(x) = - x² + 4 x + 8
que vaut f(0) ?

[Aloïs]

Pour l'axe des ordonnées c'est 2 4 6 8 etc -2 -4 -6 etc
f(0)= -0& +4 x 0 +8
f(0) = 8

[danyL]

Pour l'axe des ordonnées c'est 2 4 6 8 etc -2 -4 -6 etc

ok mais pour l'axe des abcisses (axe horizontal) quelles sont les graduations ?

f(0)= -0& +4 x 0 +8
f(0) = 8

sur le graphique que lis-tu pour f(0) ?

si on reprend la formule f(x) = a x² + b x + c
f(0) = ...
donc c = ...

pour trouver a et b, on note x1 la premiere valeur où la courbe coupe l'axe des abcisses, x2 la deuxième valeur
et on écrit f(x1) = 0 et f(x2) = 0
cela donne 2 équations, à résoudre
(je n'arrive pas à lire les valeurs sur le graphique, est ce que x1 = -1 et x2 = 4 ?)

[Aloïs]

Pour l'axe des abscisses 1 carreau = 0.5
Pour l'axe des ordonnées 1 carreau = 2

[danyL]

ok donc x1 = -1 et x2 = 4

f(-1) = 0
a (-1)² + b (-1) + c = 0
a - b + c = 0

f(4) = 0
a 4² + 4b + c= 0
16 a + 4b + c = 0

on obtient ce systeme de 2 equations
(1) a - b + c = 0
(2) 16 a + 4b + c = 0

pour le résoudre, calcule f(0) pour trouver c comme je t'ai indiqué dans le post précédent
puis tu peux multiplier l'equation (1) par 4 et l'ajouter à (2) pour éliminer b et obtenir a

[Aloïs]

f(0)= -0& +4 x 0 +8
f(0) = 8
ça ?

[danyL]

plutot ça :

sur le graphique que lis-tu pour f(0) ?

si on reprend la formule f(x) = a x² + b x + c
f(0) = ...
donc c = ...

[danyL]

pour l'exercice 2
question 2)
pour calculer l'aire du quadrilatère, le plus simple est de calculer l'aire du rectangle et de lui enlever les aires des 4 triangles AFG, GBH, DEF et CHE
aire EFGH = aire ABCD - aire AFG - aire GBH - aire DEF - aire CHE

les triangles AFG et CHE sont semblables donc il est suffisant de calculer l'aire de AFG
de meme pour GBH et DEF

je te fais l'aire de AFG, à toi de continuer
aire AFG = 1/2 AF x AG
AF est noté x dans l'énoncé
AG est égal à AB - GB
GB est égal à AF donc GB = x
AG = 8 - x

aire AFG = 1/2 (x) (8-x)

au final on trouve bien aire quadrilatère = 2x² - 13 x + 40

question 3)
développe et simplifie l'expression donnée, tu dois retomber sur f(x) = 2x² - 13 x + 40
en utilisant (A + B)² = A² + 2 AB + B²

[Aloïs]

Sur le graphique f(0)=-8
J'ai pas compris d'ou vient le 1/2 AF
BH = HB -HC
BH = 5-x
HBG = 1/2(x) (5-x)
2x² - 16x + 40
x (2x-16) + 40 ...
Mais 2x² - 13 x + 40 est déjà en forme dévoeloppé ? non

[danyL]

exercice 1
oui sur le graphique f(0) = -8
f(x) = a x² + b x + c
f(0) = a 0² + b 0 + c
f(0) = c
donc c = -8
as-tu compris ?

pour le calcul de a et b on utilise les 2 autres points remarquables de la courbe
et on remplace c par la valeur trouvée
f(-1) = 0
a - b + c = 0
(1) a - b - 8 = 0

f(4) = 0
16 a + 4b + c = 0
(2) 16 a + 4b - 8 = 0

pour résoudre le système d'équation
multiplier l'equation (1) par 4 et l'ajouter à (2) pour éliminer b et obtenir a

exercice 2
2)

J'ai pas compris d'ou vient le 1/2 AF

c'est tout simplement la formule pour calculer l'aire d'un triangle
1/2 base * hauteur

BH = HB -HC
BH = 5-x
HBG = 1/2(x) (5-x)

BH = HB -HC -> c'est plutot BH = BC - HC
BH = 5-x -> oui
aire HBG = 1/2(x) (5-x) -> oui

maintenant que tu as les aires des 2 triangles (les 2 autres étant semblables) tu peux calculer l'aire du quadrilatère
aire EFGH = aire ABCD - aire AFG - aire GBH - aire DEF - aire CHE

3) oui 2x² - 13 x + 40 est déjà en forme développée
c'est l'expression de la question 3 qu'il faut développer, et au final tu dois retomber sur f(x) = 2x² - 13 x + 40

[Aloïs]

(1) a - b - 8 = 0
2 (a - b -8) = 0
2a - 2b - 16 = 0
2a - 2b = 16
a - b = 4

40 - 2(1/2(x) (5-x)) - 2(1/2 (x) (8-x))

2(x-13/4)² = 151/8
2x² + 169/8 = 15/8
2x² + 40

Je pense m'être trompé.

[danyL]

exercice 1
les équations sont :
(1) a - b - 8 = 0
(2) 16 a + 4b - 8 = 0
on veut éliminer une des 2 variables, par exemple b
on voit que dans la premiere equation on a -b et dans la 2eme equation on a 4b
on multiplie (1) par 4 pour obtenir 4b :
4(a - b - 8) = 4*0
4a - 4b - 32 = 0
maintenant on l'additionne avec (2) :
4a + 16a - 4b + 4b - 32 - 8 = 0 -> les b s'éliminent
20 a - 40 = 0
20 a= 40
a = 2
il ne reste plus que b à calculer
pour cela on reprend une des 2 'équations, par exemple (1) et on remplace a par sa valeur

exercice 2
2)

40 - 2(1/2(x) (5-x)) - 2(1/2 (x) (8-x))

oui c'est bon mais il faut développer jusqu'à obtenir 2x² - 13 x + 40

3)

2(x-13/4)² = 151/8
2x² + 169/8 = 15/8
2x² + 40

2(x-13/4)² = 151/8
->là tu as calculé pour f(x) = 0
il faut développer f(x) pour tout x
f(x) =2(x-13/4)² + 151/8
f(x) = 2 (x² -2x(13/4) + 169/16) + 151/8
f(x) = 2x² -13x + 169/8 + 151/8
f(x) = 2x² -13x + 320/8
f(x) = 2x² -13x + 40

[Aloïs]

Je suis désolé mais je n'ai pas bien compris quand vous avez additionne avec 2

Ducoup pour b: 2 - b - 8 = 0
-6 = b

40 - 2(1/2(x) (5-x)) - 2(1/2 (x) (8-x))
2 (20 - 1/2x (5-x) - 1/2x (8-x))
2 (20 - 5/2x +1/2x² - 4x + 1/2x²)
2 (20 - 13/2x + x²)
2 x 1/2 (40 - 13x + 2x²)
40 - 13x + 2x²

[danyL]

Ducoup pour b: 2 - b - 8 = 0
-6 = b

c'est ok b = -6
donc au final f(x) = 2 x² - 6 x - 8

40 - 2(1/2(x) (5-x)) - 2(1/2 (x) (8-x))
2 (20 - 1/2x (5-x) - 1/2x (8-x))
2 (20 - 5/2x +1/2x² - 4x + 1/2x²)
2 (20 - 13/2x + x²)
2 x 1/2 (40 - 13x + 2x²)
40 - 13x + 2x²

c'est ok

(1) a - b - 8 = 0
(1) * 4
4a - 4b - 32 = 0
(2) 16 a + 4b - 8 = 0
on additionne membre à membre les 2 équations :
(4a - 4b - 32) + (16 a + 4b - 8) = 0 + 0
en regroupant les termes en a puis les termes en b puis les constantes on a:
(4 a + 16 a) + (- 4b + 4b) + ( - 32 - 8 ) = 0
soit 20 a - 40 = 0
est ce plus clair ?

[Aloïs]

a ok Merci

[Aloïs]

Donc si je résume 1) 2x² - 6x - 8. Pourriez vous me renvoyez les calculs s'il vous plait je n'arrive plus a les retrouver dans nos messages.

2) https://www.noelshack.com/2019-17-3-155 ... 842381.jpg

Exercice 2 :
1) ?

2) AFG = 1/2 AF x AG AB - GB AG = 8 - x aire AFG = 1/2 (x) (8-x) .
GBH= 1/2 BG x BH BH = HB -HC BH = 5 - x HBG = 1/2(x) (5-x). Je ne comprends pas en quoi sa répond à la question.

3) 40 - 2(1/2(x) (5-x)) - 2(1/2 (x) (8-x))
2 (20 - 1/2x (5-x) - 1/2x (8-x))
2 (20 - 5/2x +1/2x² - 4x + 1/2x²)
2 (20 - 13/2x + x²)
2 x 1/2 (40 - 13x + 2x²)
40 - 13x + 2x²

4)La non plus je ne retrouve plus la réponse.

Merci de m'avoir répondu et aidé !

[danyL]

exercice 1

22 Avr 2019 14:23
oui sur le graphique f(0) = -8
f(x) = a x² + b x + c
f(0) = a 0² + b 0 + c
f(0) = c
donc c = -8
as-tu compris ?

pour le calcul de a et b on utilise les 2 autres points remarquables de la courbe
et on remplace c par la valeur trouvée
f(-1) = 0
a - b + c = 0
(1) a - b - 8 = 0

f(4) = 0
16 a + 4b + c = 0
(2) 16 a + 4b - 8 = 0

pour résoudre le système d'équation
multiplier l'equation (1) par 4 et l'ajouter à (2) pour éliminer b et obtenir a

22 Avr 2019 18:20
les équations sont :
(1) a - b - 8 = 0
(2) 16 a + 4b - 8 = 0
on veut éliminer une des 2 variables, par exemple b
on voit que dans la premiere equation on a -b et dans la 2eme equation on a 4b
on multiplie (1) par 4 pour obtenir 4b :
4(a - b - 8) = 4*0
4a - 4b - 32 = 0
maintenant on l'additionne avec (2) :
4a + 16a - 4b + 4b - 32 - 8 = 0 -> les b s'éliminent
20 a - 40 = 0
20 a= 40
a = 2

22 Avr 2019 19:45
Du coup pour b: 2 - b - 8 = 0
-6 = b

22 Avr 2019 20:52
donc au final f(x) = 2 x² - 6 x - 8

[Aloïs]

Je ne comprends pas d'ou vient le 16a

[danyL]

exercice 2

1) F se promène sur le segment AD donc quand F est confondu avec A que vaut la distance AF ?
pareil quand F est en D, que vaut la distance AF ?
donc x= AF varie entre ... et ...

2) on demande l'aire du quadrilatère
une façon de la trouver est de calculer l'aire du rectangle ABCD puis d'enlever les aires des 4 triangles qui sont autour du quadrilatère
as-tu compris ?

22 Avr 2019 14:23
maintenant que tu as les aires des 2 triangles (les 2 autres étant semblables) tu peux calculer l'aire du quadrilatère
aire EFGH = aire ABCD - aire AFG - aire GBH - aire DEF - aire CHE

22 Avr 2019 15:46
40 - 2(1/2(x) (5-x)) - 2(1/2 (x) (8-x))

22 Avr 2019 19:45
40 - 2(1/2(x) (5-x)) - 2(1/2 (x) (8-x))
2 (20 - 1/2x (5-x) - 1/2x (8-x))
2 (20 - 5/2x +1/2x² - 4x + 1/2x²)
2 (20 - 13/2x + x²)
2 x 1/2 (40 - 13x + 2x²)
40 - 13x + 2x²
(c'est la question 2 pas la question 3)

3)
22 Avr 2019 18:20
2(x-13/4)² = 151/8
->là tu as calculé pour f(x) = 0
il faut développer f(x) pour tout x
f(x) =2(x-13/4)² + 151/8
f(x) = 2 (x² -2x(13/4) + 169/16) + 151/8
f(x) = 2x² -13x + 169/8 + 151/8
f(x) = 2x² -13x + 320/8
f(x) = 2x² -13x + 40

4) avec les valeurs limites de x trouvées en question 1, calcule combien vaut l'aire pour des valeurs de x comprises entre ces limites
tu peux aussi tracer la courbe sur une calculatrice et regarder pour quel x (x compris entre son minimum et son maximum) la courbe est maximale

avec la formule donnée en 3) on trouve facilement la valeur minimale de la courbe, pour x = 13/4 l e carré est nul, je me demande si ce n'est pas une erreur d'énoncé