Rang d'une matrice

[mlb75]

Bonjour,
J'éprouve des difficultés à déterminer le rang de la matrice carrée d'ordre n définie par a_{ij}=1 si |i-j|<=1 et 0 sinon. je n'ai pas encore vu la notion de déterminant et je ne parviens à mettre la matrice sous forme échelonnée.
Merci pour votre aide

[tournesol]

Tu fais comme si ta matrice A est celle d'un endomorphisme u et tu calcules ker(u)

[mlb75]

Oui mais il faut résoudre le système :
a1+a2=0
a(k-1)+a(k)+a(k+1)=0 pour k=2...n-1
a(n-2)+a(n)=0
ce qui est loin d'être évident.

[aviateur]

Bonjour
Une remarque tout de même, le déterminant ne donne pas toujours le rang. S'il est non nul le rang est maximum. Mais est-ce le cas ici?
D'autre part échelonner la matrice pourquoi pas mais le travail risque de dépendre de n.
Alors je pense que le mieux est de déterminer le noyau de la matrice Ker(M) qui donne le rang grâce au théorème du rang.
Soit donc un vecteur du noyau, i.e MX=0.
Ce qui est équivalent au système suivant


où j'ai ajouté et pour uniformiser les équations. (on pose donc ).
Les forment donc une suite récurrente dont chaque terme dépend linéairement des deux précédents. La suite est donc de la forme
où et sont les racines de .
Mais donc b=-a. On a alors
Mais on a
Or pour alors dim Ker(f)=1 et le rang est n-1.
Si alors a=0 et X=0, i;e M est inversible est le rang est maximal = n.

En résumé il y a 2 rangs possibles n-1 pour n=2,5,8,... et n sinon.

[mlb75]

Génial
Merci infiniment aviateur !
Je n'aurais jamais penser à utiliser une suite récurrente linéaire d'ordre 2.
Ca plane pour toi si j'ose dire !

[aviateur]

Merci, je suis aviateur et quand je coupe le moteur je plane.

[tournesol]

On peut aussi essayer de procéder par récurrence:
on écrit les 4 dernières équations




on a rapidement et les valeurs de jusqu'à dépendent du cas n-3 .
On a ensuite et
Donc si N est la matrice d'une base de ker(u) dans le cas n-3 , j'obtiens la matrice d'une base de ker (u) dans le cas n en lui rajoutant une ligne nulle (x_2=0) , suivie de l'opposée de la ligne n-3 puis de la ligne n-3 .
Donc le rang dans le cas n est egal au rang dans le cas n-3

[tournesol]

ERREUR
C'est la dimension de ker u qui est la même dans le cas n et dans le cas n-3 .
Il en résulte que