Probas discrètes, dénombrement

[Jeejsaas]

Bonjour,
J’aimerais avoir votre avis sur un petit exercice de dénombrement, j’ai un doute quant au résultat que j’ai obtenu

On considère un paquet de 32 cartes (le fameux) et on effectue un tirage de 4 cartes réparties de manière équiprobable.

On demande, parmi les questions, la probabilité que l’on tire exactement 2 piques sur les cartes.

En premier lieu j'ai choisi comme modèle "l'ensemble des mains de 4 cartes parmi les 32", d'où . Les cartes étant réparties de manière équiprobable sur , est uniforme sur .
Soit "tirer exactement deux piques"
On considère un tirage de 4 cartes, et on suppose que deux cartes non piques ont déjà été tirées. On en a choisit donc 2 parmi les 24 restantes, soit façons différentes de les choisir.
Il nous reste donc à choisir 2 piques parmi les 8 pour compléter le tirage, soit façons différentes.
Au final, on a façons de constituer une main comprenant exactement deux piques.

Enfin comme est uniforme,

Le doute se pose ici étant donné que je trouve une probabilité qui me semble beaucoup trop importante pour un évènement aussi restreint.

Si quelqu'un peut m'indiquer où j'ai fait une erreur, merci d'avance!

[aviateur]

Bonjour v
Non c'est bon sauf que la proba

[Jeejsaas]

Oui, j'ai un peu trop arrondi, mais merci beaucoup ça me rassure quant à mon raisonnement

[LB2]

Bonjour,

pour compléter : ce type de tirages, sans remise, suit une loi qu'on appelle hypergéométrique.

La probabilité de tirer un certain nombre x d'objets de type 1 parmi une collection d'objets de type 1 (au nombre de N1) ou de type 2 (au nombre de N2), sans remise, est donnée par une fraction, au numérateur le produit de deux coefficients binomiaux, et au dénominateur un coefficient binomial, tous ces nombres étant facilement calculables en fonction de N1, N2, x, et N1+N2.

[beagle]

1)"pour compléter : ce type de tirages, sans remise, suit une loi qu'on appelle hypergéométrique."

à la base il est dit ceci:"On considère un paquet de 32 cartes (le fameux) et on effectue un tirage de 4 cartes "

donc déjà, se rendre compte que prendre 4 cartes d'un seul coup, exemple les 4 premières cartes sur le dessus après avoir mélangé et coupé,...
ben c'est pareil que de recevoir une première carte, puis une seconde puis, une troisième, puis la quatrième,
et là a ce moment c'est tirage sans remise

2)donc en effet on peut faire une méthode globale, celle ci-dessus,
comme on peut faire une méthode séquentielle,
après je ne vais pas parler d'arbre, mais pour ceux qui ont une autre représentation du séquentiel qu'ils utilisent leur représentation,
toujours est-il que comme dans la loi binomiale, on peut se ramener à une probabilité de base qui est remultipliée par la position des évènements dans la séquence.

Dans le cas présent sans remise, on peut faire idem la loi binomiale:
je cherche proba de base d'avoir un évènement avoir deux piques, et ensuite je multiplie par la position de ces deux piques.

Si on veut k pique sur les 4 cartes, alors
ma proba de base ce sera toujours A(8,k) * A(24, 4-k) / A(32,4)
et cette proba de base se remultiplie par choisir l'emplacement de k pique dans les 4 cartes, on remultiplie par C(4,k)

3) alors ensuite l'intuition qui pense que c'est trop ou pas assez, l'intuition surprise
ben elle doit se conforter, elle doit au contraire se rectifier grace à l'analyse de la formule.

entre un pique et deux pique, et bien dans ma formule de proba
je perds 23/7, je remplace un 23 par du 7 au numérateur, le dénominateur ne change en rien
mais je gagne de passer de 4 à 6 le nombre de positions,
au final on passe d'un facteur de : 23/7 * 4/6 =2,19 entre 1 pique et deux pique

comme il n' y a que 5 possibilités 0,1,2,3,4 pique
comme le 4 pique est tres faible (voir son calcul),
alors un peu plus du double, un peu moins de la moitié pour passer de 1 pique à 2 piques
l'intuition est recadrée si besoin
and so on...