Problème anneaux Z/nZ (Mathèmatiques discrètes)

par **reminouche** » 10 Jan 2009, 17:46

Bonjour à tous,
Tout d'abord désolé de poser une question pour mon premier post, mais c'est ainsi j'ai besoin de votre aide car une colle en mathématiques s'annonce la semaine prochaine. Pour réviser, je m'entraîne à faire quelques exercices notamment ceux portant sur les anneaux.

Malheureusement, je bute sur celui ci :

Déterminer la table de multiplication de Z/9Z. Résoudre l'équation

_¨¨¨¨_
5 x = 7 dans Z/9Z.

L'anneau Z/9Z est-il intègre ? Expliquez pourquoi ?

Je précise que je ne cherche pas une solution brute mais plutôt des pistes et des explications.

Merci par avance.

par **Anneauprincipal** » 10 Jan 2009, 17:49

Bonjour, il faut écrire une table (comme la table de Pythagore !) en calculant par exemple 8*2 et en regardant ce que ça vaut dans Z/9Z.

De plus, si on demande si Z/9Z est intègre, c'est sans doute qu'il ne l'est pas ! cherche si x*y=0 dans ta table sans que x=0 ou y=0...

par **reminouche** » 10 Jan 2009, 17:55

Dans la table j'écris les nombres de 1 à 9 ?

1 2 3 4 5 6 7 8 9
2
3
4
5
6
7
8
9

par **Anneauprincipal** » 10 Jan 2009, 17:59

En fait, tu écris les éléments de Z/9Z (les classes d'équivalences des points 0 à 8 si tu préfères). exemple : 8*2=16=7 modulo 9 donc 8*2=7...

par **Doraki** » 10 Jan 2009, 17:59

Dans la table tu mets les éléments de Z/9Z.

Donc les classes de 0, 1, 2, ..., 8

par **reminouche** » 10 Jan 2009, 18:19

La réponse serait donc :

1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 1 3 5 7 0
3 6 0 3 6 0 3 6 0
4 8 3 7 2 6 1 5 0
.
.
.
8 7 6 5 4 3 2 1 0
9 0 0 0 0 0 0 0 0

Et l'anneau Z/9Z ne serait pas intègre car (par exemple) 6*3 = 0 modulo 2.
Est-ce juste? si oui comment le rédiger ?

par **Anneauprincipal** » 10 Jan 2009, 18:26

C'est cela (il faut juste enlever le 9 de ta table). La rédaction ? Et bien c'est du calcul !

par **Nightmare** » 10 Jan 2009, 18:39

Salut :happy3:

Pour l'intégrité c'est bon, on a deux diviseurs de 0, pas bon pour un anneau intègre :lol3:

Tu peux démontrer que Z/nZ est intègre si et ssi n est premier (on a même plus fort, c'est carrément un corps !)

par **reminouche** » 10 Jan 2009, 18:53

Ok! c'est plus clair maintenant! encore merci à tout ceux qui ont poster pour répondre

par **leon1789** » 10 Jan 2009, 22:20

Doraki a écrit:Dans la table tu mets les éléments de Z/9Z.

Donc les classes de 0, 1, 2, ..., 8

encore plus simple : prendre les classes -4,...,4 ! :zen:

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