Rayon d'une série entière

[Leo20]

Bonjour,

Je suis actuellement en train de travailler sur un exercice dont l'une des questions est de montrer l'équivalence suivante, qui concerne une série entière complexe avec R son rayon de convergence :



J'ai réussi à montrer l'implication , mais j'ai un peu de mal pour l'autre implication. J'ai eu plusieurs idées mais aucune ne semble aboutir :
- Utiliser le fait que pour tout z dans le disque ouvert de convergence, la suite est bornée, mais je suis alors confronté au problème que ce n'est pas toujours le cas pour .
- Utiliser un raisonnement par l'absurde, en supposant que R>0 et , mais je ne trouve pas de contradiction qui conduirait à R=0.

Que pensez-vous de ce problème ? Est-ce que l'une de mes pistes est la bonne, mais je ne vois pas encore comment conclure ? Ou alors faut-il un nouveau point de vue ?

Merci d'avance pour votre aide.

[aviateur]

Bjr
Si R>0 la série cv donc le terme général tend vers 0. Cela implique qu'il existe m>0 tel que pour tout n
i. e et
c'est un exercice facile de montrer qu'il existe q tel que pour tout n.

[Leo20]

Merci beaucoup pour votre réponse !