Probabilités - Double intégration

[Elhadi]

Soit le problème suivant =

Soit f(y1,y2) une fonction de densité =

3y1 si 0<=y2<=y1<=1
0 ailleurs

Je dois trouver la fonction de densité de la variable U = y2-y1

Pour cela je cherche Fu(u), la fonction de répartition de la variable U
Le cours résolve l'exercice de la manière suivante :

Fu(U) = P(U<=u) = 1 - P(U>=u)

Ma question est la suivante : Pourquoi passe t'on de P(U<=u) à 1 - P(U>=u) ?
Quel est l'intérêt de ce passage ? N'est il pas plus évident de calculer P(U<=u) ?
La réponse est évidement différente dans les deux cas, mais j'aimerais savoir quel est l'intérêt de faire cela , quand et pourquoi nous le faisons ?

INFO SUPP : Le problème se résolve grâce aux doubles intégrales

Merci d'avance aux meilleurs !

[aviateur]

Bonjour
Pour utiliser F(u)==1-.... cela, ça dépend du contexte. Maintenant ici le contexte est nébuleux, donc on ne peut pas répondre.
U=y2-y1 c'est quoi la v.a y2, la v.a y1. Comment espère tu avoir une réponse avec cela?

[Elhadi]

Y1 = quantité de gasoline stocké en début de semaine, Y2 = quantité vendue pendant la semaine.
On cherche la fonction de densité de U = y1-y2 = la quantité de gazoline restant à la fin de la semaine
Effectivement, désolé de l'imprécision .

[aviateur]

Rebonjour
Mais même comme ça on ne peut pas comprendre.

Mais je peux répondre alors de façon générale.
P(U<u)=1-P(U>u) donc on utilise cela quand P(U>u) est + facile à calculer P(U<u).

[LB2]

Bonsoir,

le problème consiste à déterminer la loi (fonction de densité) de la variable aléatoire U=Y1-Y2, connaissant la fonction de densité du couple de variables aléatoires (Y1,Y2).
Ton énoncé est donc imprécis au début : la fonction f que tu donnes au début est la densité du couple (Y1,Y2).

Un théorème général assure que si tu connais la densité du couple, tu peux déterminer la densité de n'importe quelle fonction de (Y1,Y2) par un calcul d'intégrales. (théorème de transfert).

Pour n'importe quelle fonction continue h, on a l'égalité où f_U est la densité de U.
On calcule donc , formule obtenue grâce à la densité du couple, c'est une intégrale double, et on la met sous la forme du dessus grâce à un changement de variable et un calcul d'intégrales pour identifier la densité de U.

On trouve sauf erreur f_U(u)=0 si u<0 ou u>1, et f_U(u)=3/2*(1-u^2) sinon

[aviateur]

Merci LB2 je suis idiot de ne pas avoir deviner la question.
Mais cela montre qu'en tout état de cause il faut savoir poser sa question correctement.
Concernant ta réponse, je n'ai pas fait le calcul mais ça serait bien ça sauf que y2-y1 est dans [-1,0] et non [0,1] . Peut être tu as calculé la densité de y1-y2?

[LB2]

oui j'ai l'impression au vu du deuxième message qu'il fallait bien calculer la densité de Y1-Y2