Injectivité

[maxlegoua]

Bonsoir,
J'ai une fonction g(t)=exp(2ipi/(t-1))-1 si t<=0 et g(t)=1-exp(-2ipi/(t+1)) si t>=0; fonction de R (dans C)
Le but est de montrer que si t et t' sont de signes différents, alors cette fonction est injective; Cela fait 5 heures que je me tracasse la tête dessus en essayant de montrer à partir de l'inégalité triangulaire (idée qui m'a été donnée) et de la définition de l'injectivité. Mais je n'arrive toujours pas à le montrer.
J'ai réellement besoin de la démonstration en urgence, mon semestre en dépend. Je sais que ce n'est pas poli de demander ça mais aidez-moi s'il vous plaît, je me suis beaucoup donné sur ce problème.
Merci d'avance.

[pascal16]

g(t)=1-exp(-2ipi/(t+1)) si t>=0;

quand t parcourt R une unique fois
t+1 parcourt [1;+oo[ une unique fois
1/(t+1) parcourt ]0;1] une unique fois
-2pi/(t+1) parcourt [-pi;0[ une unique fois
1-exp(-2ipi/(t+1)) parcours un demi-cercle privé d'un point centré en (1;0) et de rayon 1 une unique fois

le deux définitions sont deux demis-cercles (privés d'un point)
l'unique point en commun qu'il peuvent avoir est (0;0), il reste donc à vérifier ça.