DM de Spé maths

[Matt190501]

Bonjour,

J'ai un DM de spé Maths a rendre pour apres les vacances, j'ai fais l'entièreté du DM sauf l'exo 2 sur lequel je bute depuis deux jour. si vous pouviez m'aider Merci

Enoncé :

On considère un entier naturel a.
Dans la division euclidienne de par 84, le reste est noté r.
Dans la division euclidienne de par 12, le reste est 4.
Dans la division euclidienne de par 7, le reste est 5.

1. a) Déterminer les valeurs possibles de r.
b)Prouvez que r congru à 4 (12).
c) Prouver que r congru à 5 (7).

2. a) En déduire la valeur de r.
b) On sait de plus que a est inférieur ou égale a 500.
Quelles sont les valeurs possibles de a ?

J'ai seulement répondu a la question 1.a) j'ai mis que les restes possibles pouvait être 0,1,2,3,4,5,6. je ne suis pas sur d'avoir bon .

par avance merci de votre aide.

[aviateur]

Bonjour
Tu as surement remarqué que 84=7*12 ??
1 a) a=84 q +r et les valeur possibles de r sont r=0,....,83.
1 b)
Donc i.e r = 4 mod (12)
1 c) Même genre de travail

2. les premiers multiples de 12 augmentés de 4 sont : 0+4 , 12+4 , 24+4 ,36+4 ,48+4, 60+4,72+4.
Parmi ceux là tu cherches celui congru à 5 mod (7). TU trouves donc r

[Matt190501]

2. celui congru au deux c'est 40

[aviateur]

oui c'est ça.

[Black Jack]

Salut,

Autre approche (pas tout à fait par la voie suggérée par l'énoncé)

a = 12.n2 + 4
a = 7.n3 + 5
(avec n2 et n3 entiers)

12n2 + 4 = 7n3 + 5
n2 = (7n3 + 1)/12

équation diophantienne qui donne : n2 = 3+7k et n3 = 5+12k

--> a = 12n2 + 4 = 40 + 84k (avec k entier)

Et donc le reste r de la division de a par 84 est 40

[aviateur]

Oui alors là je suis tout à fait d'accord. C'est bien plus préférable de faire comme ça.
Puisque le même exo avec des nombres plus grands rendra l'énumération des différents cas possibles plus pénible.

[Matt190501]

oui mais je n'ai jamais fais ça en cours !

[aviateur]

Qu'est ce que tu n'a pas fait en cours?
Le sujet parle de congruence. Je vois mal comment tu n'aurais pas vu la division euclidienne.
Car on n'utilise que ça.

[Matt190501]

c'est bon j'ai trouvé reponses a mes questions je vous remercie de m'avoir aider