Exercice Algèbre linéaire

[EliasEl]

Bonjour,

J'ai un problème, je suis entrain de finioler mes révisions pour les partiels et je suis bloqué au dernière exercice de l'annale de l'année dernière. J'ai pu determiner la matrice u dans la base canonique C3. Mais je suis bloqué à la troisième question. Je ne vois pas ce que P peut-etre, je me doute bien que si on m'a fait calculer un determinant, non nul de surcroit ce n'est pas pour rien. Toutefois je ne vois pas le truc...
Je suis donc bloqué à la question 3

PS : Je ne peux plus UPLOAD

Lien exo : https://ibb.co/fiZVrV

[pascal16]

c'est quoi u, et le M que tu en as déduit ?

[EliasEl]

Voila ce que j’en ai déduit

https://imgur.com/a/8W9JKp4

[Ben314]

Salut
@pascal : l'endomorphisme u, c'est ( x ; y ; z ) -> ( y ; z ; x )

@EliasEl : Pour répondre à la question 3, il suffit de connaître la définition de ce qu'est "la matrice de u dans une base B" à savoir qu'il faut calculer les images par u des élément de la base et exprimer ces images dans la base en question.
Bref, ici, tu pose v1=(1,1,1) ; v2=(1,w,w²) ; v3=(1,w,w²) ; tu calcule u(v1) ; u(v2) et u(v3) et tu exprime les résultats en fonction de v1 ; v2 et v3 (ce qui est immédiat)

[EliasEl]

Je ne saisis pas bien, c’est ce que j’ai fait non?

[Ben314]

Je ne saisis pas bien, c’est ce que j’ai fait non?

Absolument... pas du tout...
RELIT mon message (et/ou ton cours)

[EliasEl]

Ah j’ai exprimer en fonction de la base canonique d’ou mon erreur d’accord ! Mais par contre je trouve que u(v1)= 1 fois v1 mais les autres je bug, il y’a le decalage des coordonnées à cause de u ce qui donne w2, w, 1. Et je ne trouve pas comment y exprimer en fonction de v1 v2 et v3

[Ben314]

Deux méthodes :

1) Une fois f(v2) calculé, résoudre le système (d'inconnues x,y,z) f(v2)=x.v1+y.v2+z.v3 pour trouver la décomposition (tu sait d'avance que ce système admet une unique solution vu que v1,v2,v3 est une base).
Puis idem pour f(v3) [c'est passablement long dans un cas pareil...]

2) Tu lit correctement l'énoncé (en particulier la suite) pour essayer d'y trouver la réponse à ta question. Évidement, tu vérifie ensuite que ton intuition est la bonne

[EliasEl]

Merci bcp chef je resoud cela et je t’envoie le tout ! Mille merci

[EliasEl]

J’ai résolu les systemes d’equations et je retombe sur la matrice P-1MP. Comment puis je déduire la matrice de passage?

[Ben314]

Ben ça, c'est aussi du cours : Si on note D (comme "diagonale") la matrice que tu vient de trouver alors tu sait (théorème) que où P est la matrice de passage de la base de canonique (dans laquelle l'endomorphisme u à pour matrice M) vers la base B (dans laquelle l'endomorphisme u à pour matrice D).
Et cette "matrice de passage", c'est (définition) la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de B exprimés dans la base canonique.