Filtres ultrafiltres

[Nobo]

bonjour . comment arrive t on a demontrer svp que tout filtre contient le filtre de frechet ou est egzl a un certain Fx pour x appartenant a X (Fx=l ensemble des A tels que x appartient a A .merci d avance

[Ben314]

Salut,
Tel que tu l'énonce, c'est faux : si tu prend une partie quelconque Xo non vide de X et que tu considère l'ensemble F des parties A de X telles que XoA, alors F est bien un filtre, mais si Xo n'est ni réduit à un singleton, ni cofini alors F ne contient pas le filtre des parties cofinies (*) mais n'est pas un Fx non plus.
Par contre, ce qui est vrai, c'est qu'un filtre quelconque F, soit il contient le filtre des parties cofinies, soit il est contenu dans un certain Fx.
Et c'est bète comme choux car, si un filtre F n'est pas contenu dans un certain Fx, ça signifie qu'il contient une partie A de X qui ne contient pas l'élément x et, vu que AX\{x} ça implique que F contient X\{x}. Donc si F n'est contenu dans aucun des Fx, c'est qu'il contient tout les ensemble de la forme X\{x} avec x dans X et en passant aux intersections finies, ça signifie qu'il contient toutes les parties cofinies de X.

Ensuite, vu que tu perle d'ultrafiltres, ce que le résultat souligné çi dessus dit, c'est que les ultrafiltres sur X, c'est les Fx avec x dans X ainsi que les ultrafiltres plus fin que le filtre des parties cofinies.

(*) Je suppose que c'est le filtre des parties cofinies sur X que tu appelle "filtre de Frechet" (en supposant X infini bien sûr). En général, on réserve ce nom au cas du filtre des parties cofonies de N, mais ça n'a pas grande importance.