Filtres

par **barbu23** » 12 Déc 2009, 19:52

Bonsoir à tous : :happy3:
Je voudrais que quelqu'un me donne un peu petit apercu sur ce qu'est ce monde de "filtres" que je connais pas et qui constitue un cadre elargie de la notion de limites ? donc, les filtres fait partie de la topologie !
Merci de vos eclaircissements ! :happy3:

par **Ben314** » 12 Déc 2009, 20:03

Les filtres (et surtout les ultrafiltres) peuvent servir... à beaucoup de choses même en dehors de la topo. (par exemple pour construire des modèles non-standards)
Ne me sentant pas de tapper tout un cours sur les filtres, peut tu préciser ta question : veut tu la définition, des exemples...

par **barbu23** » 12 Déc 2009, 20:18

Bonsoir "Ben241" : :happy3:
J'ai lu tout à l'heure un article de wikipedia sur les filtres, et il me semble que les filtres ne prennent d'interet pour un individu que quant celui çi a déjà eu l'occasion de rencontrer des cas où il est susceptible de l'appliquer. Donc, moi je connais pas assez d'exemples où ils s'appliquent !

par **barbu23** » 12 Déc 2009, 20:19

En d'autres termes, j'essaye de comrpendre ce monde de filtres pour repondre aux questions suivantes :
Peut -t- on definir la notion de limite d'une fonction

dans un anneau qui n'est pas un corps ?
Est ce qu'on peut definir la limite en un point

, d'une fonction definie uniquement sur

:

?

par **Ben314** » 12 Déc 2009, 20:31

Il me semble que dans les deux cas, la notion de filtre n'est pas trés utile : il suffit de préciser de quelles topologies on parle.

En topo., la notion de filtre sert (au départ) à créer des voisinages de points... qui n'existent pas.
Par exemple pour justifier que la notion de "n->oo (dans N)" est bien topologique, tu doit ajouter un élément à N (à savoir l'infini) et définir ces voisinages.
Si tu regarde l'ensemble des parties "cofinies" (i.e. de complémentaire finies) de N (dans N union oo c'est elles qui formeront les voisinages de l'infini) la seule chose qui leur manque pour vérifier les axiomes des voisinage c'est... que leur intersection est vide !
Or, on peut voir les axiomes des filtres comme les même que ceux des voisinages, sauf que l'on impose pas qu'il y ait un élément commun à toutes les parties.
L'ensemble des parties cofinies de N est donc un filtre (appellé filtre de frechet) et au lieu de dire que n->oo, tu peut dire que calcule la limite suivant le filtre de frechet.
Cette optique évite d'ajouter un élément à N et permet de travailler de façon bien plus naturelle avec les suites extraites et les valeurs d'adhérences (qui sont des limites via des filtres plus fin que celui de départ)

par **Arkhnor** » 12 Déc 2009, 22:29

Bonsoir.

Il y a par exemple les familles sommables, qui sont des limites sur des sommes finies : si

est une famille (de réels, de vecteurs d'un evn, d'éléments d'un groupe topologique, ...), on peut calculer la somme des

pour des sous-ensembles

de

qui sont finis.
Avec un filtre adapté sur l'ensemble des parties finies de

, on peut voir si ces sommes ont une limite quand "

tend vers

".

par **Ben314** » 12 Déc 2009, 22:56

En y repensant, dans ton deuxième exemple, on peut (à la rigueur) y voir des filtres.

Est ce qu'on peut definir la limite en un point , d'une fonction definie uniquement sur : ?

Si tu veut définir la limite d'une telle fonction quand x tend vers

(qui n'est pas dans

) tu peut considérer l'ensemble des parties de

de la forme

où V est un voisinage de

dans

. Ce n'est pas l'ensemble des voisinages d'un point de

mais c'est un filtre et on peut (essayer de) calculer la limite de f suivant ce filtre.
Bon, c'est pas super interressant comme exemple d'utilisation des filtres car tu peut tout aussi bien considérer que

est une partie de

et (essayer de) calculer la limite en

de ta fonction vue comme une fonction définie sur une partie de

...

par **barbu23** » 13 Déc 2009, 00:18

Non, ce n'est pas ça ce que j'avais envie de dire "Ben" :

est un irrationnel ! par contre ma fonction

n'est pas definie sur

! donc, je cherche juste la limite de

quant

tend vers un rationnel

! est ce possible ?

n'est donc pas definie sur

!
Merci pour ta reponse "Arkhnor" ! :happy3:

par **Ben314** » 13 Déc 2009, 00:23

Ben...
y'a pas besoin d'une grosse théorie :

est un espace métrique donc naturellement muni d'une topologie (tu peut aussi invoquer qu'il est totalement ordonné et prendre la topo de l'ordre OU BIEN que c'est une partie de

et lui mettre la topo induite....de toute façon c'est la même)
Et maintenant que tu as une topo sur

, tu peut bien parler de limite tant que tu veux....

par **barbu23** » 13 Déc 2009, 00:31

Oui, mais bon, j'ai mal choisi l'exemple : si on remplace

par un anneau

contenant

( ben, il y'a des entensions d'anneau non intègre, de

, on peut les construire ) alors, à ce moment là, est ce qu'on peut definir la limite de

en un point de cet anneau ? ( je pense que c'est un peu difficile comme question ! je ne sais pas ! :happy3: )

par **Ben314** » 13 Déc 2009, 00:43

Je pense qu'il te faut mettre une topologie sur A...
L'idée des filtre est de définir des notions du type "je fait tendre x vers quelque chose qui n'est pas dans l'ensemble". C'est pour ça que le premier exemple de filtre qui me vient à l'esprit est celui de frechet qui correspond à faire tendre n "vers l'infini" alors que l'infini n'est pas un élément de N.
Conclusion : je pense que pour ton problème, les filtres ne te sont d'aucune utilité.

par **Ben314** » 13 Déc 2009, 00:45

Pour te donner un exemple où les filtres sont "pertinents", sur tout espace localement compact mais pas compact, on peut definir "x tend vers l'infini" en prenant le filtre engendré par le complémentaire des compacts.

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