Théorème de Stone-Weierstrass

[Degree]

Bonjour tout le monde j'aimerais avoir de l'aide pour un exercice.

Soient X et Y des variables aléatoires prenant valeur sur [0,1]. Supposons que EX^k = EY^k. Montrer que Ep(X) = Ep(Y) pour tout polynôme p. Montrer que Ef(X) = Ef(Y)pour toute fonction continue f sur[0,1].Montrer que FX(x)=FY(y).

Je crois avoir réussi à montrer Ep(X) = Ep(Y) mais je suis bloqué pour la suite.
Merci

[pascal16]

J'y connais rien en va et ne suis jamais aller loin en études.
Tu n'aurais pas un cheminement sous la main du type :
f continue sur un fermé => f est limite d'une suite de polynômes => Ef(X) = Ef(Y) car Ep(X) = Ep(Y)

[Ben314]

Salut,
Le théorème, c'est plutôt :
f est continue sur un fermé borné (de R et à valeur dans R) => f est limite uniforme d'une suite de polynômes.

L'ensemble des fonction continues (et des polynômes) de [0,1]->R est un e.v. de dim. infini sur lequel toutes les normes ne sont pas équivalentes donc quand on parle de limite, il faut obligatoirement préciser pour quelle norme (et en particulier en proba., on utilise on ne peut plus fréquemment des normes autres que la norme de la convergence uniforme)
Sans parler du fait qu'il existe aussi une notion de limite "simple" (convergence simple) qui elle n'est même pas pas issue d'une norme.

Sinon, c'est effectivement la bonne méthode et, via ce (gros) théorème, le résultat est immédiat.

[Degree]

Bonjour. Le résultat immédiat porte t’elle sur la convergence?
P converge immédiatement vers f.
E(p(X))——>E(f(X)) Et E(p(Y))——>E(f(Y)) donc E(f(X)=E(f(Y)).

[Ben314]

Y'a un problème de vocabulaire :
Le "nom" de la convergence (dans le théorème de Stone Weierstrass), c'est "convergence uniforme" (et évidement il faut savoir ce que ça veut dire).
Ensuite ce qui est "immédiat", c'est la façon dont on va procéder pour démontrer le résultat de ta dernière question :
- On sait qu'il existe une suite de polynômes qui converge uniformément sur [0,1] vers la fonction continue considérée (th. de Stone Weierstrass)
- On sait aussi que, pour tout , on a (question précédente)
Et pour en déduire que , il suffit bien sûr de montrer que la convergence uniforme sur [0,1] de la suite (de fonctions) vers la fonction implique la convergence de la suite (de réels) vers le réel .
Là, soit ce résultat est dans ton cours, soit tu le démontre en partant de ce qu'est la définition de et de la définition de ce qu'est "une convergence uniforme" : ça prend 3 ou 4 lignes.

[aviateur]

Bonjour
La notion de convergence "immédiate" est à ma connaissance inconnue. Tu peux la définir?
Il faut utiliser le th de Stone-Weierstrass: Avec les hypothèses ce théorème dit que:
il existe un un polynôme tel que

Littérairement parlant f est limite uniforme de polynômes sur [0,1] comme cela a été dit plus haut.

Pas vu le message de @ben , c'est peut être redondant mais j'envoie tout de même.

[Degree]

Bonjour, merci pour la piste. Le prof a juste donné le nom du théorème pour l’exercice mais on ne l’a vu en cours. Je vais tenté de démonter et je vous reviens.☺️

[Degree]

Bonjour tout le monde. Ben j'ai essayé de demontrer ce que tu as dit hier. Mais ça n'avance pas du tout.

[aviateur]

Bonjour
Parlons du th en terme de suite (cf message de @ben):
i.e prendre )
On a donc une suite de polynômes qui vérifient :

Donc
(puisque X prend ses valeurs dans [0,1]

L'espérance étant linéaire et vérifiant
alors
Idem en remplaçant Y par X et utilisant la question précédente on obtient le résultat en faisant tendre vers l'infini.

[Degree]

Merci Aviateur.
Je suis partie de la définition du théorème et j'ai encradré |f(x)-g(x)|<e
|f(x)-g(x)|<e et |f(y)-g(y)|<e.
Ensuite e<|f(x)-g(x)|<e et e<|f(y)-g(y)|<e et e<|E(f(x))-E(g(x))|<e et e<|E(f(y))-E(g(y))|<e

|f(x)-f(y)|= |E(f(x))-E(g(x))+E(f(x))-E(g(x))|<= |E(f(x))-E(g(x))|+|E(f(x))-E(g(x))|car E(f(x))=E(f(y)) de la question précédente.

=>|f(x)-f(y)| <= 2e. et e tend vers 0 alors |f(x)-f(y)|=0 et E(f(x))=E(f(y))

[aviateur]

Moi je veux bien mais c'est quoi g?
Et puis e<e (tu connais beaucoup de nombre inférieur strictement à eux même).

[Degree]

Pardon j'ai oublié le signe

|f(x)-g(x)|<e et |f(y)-g(y)|<e.
Ensuite -e<|f(x)-g(x)|<e et -e<|f(y)-g(y)|<e et -e<|E(f(x))-E(g(x))|<e et -e<|E(f(y))-E(g(y))|<e

|f(x)-f(y)|= |E(f(x))-E(g(x))+E(f(x))-E(g(x))|<= |E(f(x))-E(g(x))|+|E(f(x))-E(g(x))|car E(f(x))=E(f(y)) de la question précédente.

=>|f(x)-f(y)| <= 2e. et e tend vers 0 alors |f(x)-f(y)|=0 et E(f(x))=E(f(y))

g c'est la fonction polynomiale.

[Degree]

Slt. En partant de la définition du théorème de stone-weierstrass, pensez-vous que ce que j'ai fais est correct?
Merci

[aviateur]

Bonjour. Tel quel la réponse est non. Cela ne ressemble même pas à une démonstration. Une démonstration c'est un enchaînement de phrases, qui s'appuie sur une certaine logique et compréhensible par tout le monde.
Dès le début, tu écris une double inégalité sans aucun quantificateurs.
En particulier, les sujets x,e, et g, on ne sait pas ce que c'est.Toute la suite est du même ordre.
On ne peut même pas deviner si il y un raisonnement là dedans.
d'ailleurs où sont passées les variables aléatoires X et Y?

[Degree]

merci je ne crois pas trop moi non plus. J'ai essayé avec ton raisonnement. Merci