Intégrale complexe

[Apparition]

Bonjour, je suis actuellement en L3 et je m'entraine sur l'intégration complexe. J'ai un soucis pour ce qui est de trouver les chemins sur lesquels intégrer , dans certain exercices c'est explicitement indiqué mais dans d'autre il n'y a aucune indication, je pense donc que ça doit être des chemins classiques que je connais surement déjà.
Par exemple voici l'exercice :
Déterminer :



J'aimerais donc bien comprendre la réflexion à avoir pour intégrer sur le chemin le plus simple.

Merci d'avance,

[Ben314]

Salut,
Ben là, y'a pas grand chose à réfléchir : comme tes bornes vont de -oo à +oo le seul truc qui semble convenable, ben c'est d'intégrer sur R épicétout...

Ensuite, vu que tu te doute qu'il faut utiliser le théorème des résidus qui demande un lacet (i.e. un chemin circulaire borné), effectivement, R, c'est pas top comme lacet, mais ce qu'on fait très très fréquemment, c'est de se limiter à du [-M,M] (et pas R tout entier) pour que ça reste borné et de revenir du point M à -M en faisant un arc de cercle (de rayon M centré en 0) de façon à ce que ça fasse bien un lacet. Ensuite, évidement on fera tendre M vers l'infini et tout va bien fonctionner à condition que l'intégrale sur le demi cercle tende vers 0 et assez souvent (par exemple... ici) il faut réfléchir 15 secondes pour savoir de quel coté on va placer le demi cercle (du coté des parties imaginaires >0 ou de l'autre).

P.S. : Ce segment réel + un demi cercle, ça fait parti des "classiques de chez classique" donc à connaitre absolument.

[Apparition]

D'accord je comprends bien le chemin qu'il faudra utiliser puisque comme tu l'as dit c'est un classique que j'ai déjà vu. En faite ma question portait plutôt sur le coté " comment trouver le chemin" plutôt que de vous demander le chemin en lui même. Grâce au bornes qui vont de +infini à -infini j'aurai pensé au tout début à faire comme tu l'as dit sur un segment que l'on fera tendre. Par contre je ne comprend pas pourquoi un demi cercle et pas par exemple un arc de cercle puis encore un segment ? Je pense que cela à un lien avec les singularités de la fonction.

Par exemple tu parles du placement du demi cercle, sauf que si je comprend bien on souhaite éviter le point i et -i qui seront sur le demi cercle quelque soit le placement de celui ci.

désolé si mon raisonnement parait désordonné mais j'ai vraiment du mal avec l'intégration complexe.

[Ben314]

Par exemple tu parles du placement du demi cercle, sauf que si je comprend bien on souhaite éviter le point i et -i qui seront sur le demi cercle quelque soit le placement de celui ci.

Bien sûr que non : il ne seront que sur les (demi)-cercles de rayon 1 et comme le rayon M on va le faire tendre vers +oo, en fait ça sera pas dessus.
Par contre, ils seront évidement à l'intérieur du demi disque délimité par le demi cercle et le segment [-M,M], mais ça sa signifie juste qu'il vont avoir un indice de +1 par rapport au lacet en question et donc qu'il faudra calculer le résidus en ces points.