Equation diophantienne

[Vlad-Drac]

bonjour

voici le probleme:
18x+7y=2 , determiner x et y

ma solution:
je determine une solution particuliere :
18*(3)+7*(-8)=2
en retranchant les 2 equation il vient
18(x-3)=7(-y-8)
comme 7 ne divise pas 18 alors 7 divise (x-3) d'ou
7k=x-3
x=7k+3
avec le meme raisonnement j'obtient y=-18k-8

la solution du cours:
on commence par determiner
une identite de Bezout pour les entiers 18 et 7. Pour ce faire, on utilise l'algorithme
d'Euclide, qui amene a l'identite 2*18-5*7 = 1. On en deduit la solution particuliere
x0 = 4 = 2 *2 et y0 = -10 = -5 * 2. Les entiers 7 et 18 etant premiers entre eux,
leur ppcm est egal a 7 *18 = 126 et la solution generale est donnee par x = 4+126n
et y = -10 -126n, avec n entier.

pourriez vous m'expliquer mon erreur et pourquoi une solution particuliere + ou - le ppcm suffi comme solution general ? merci

[Ben314]

Salut,
Déjà, là où ça commence mal, c'est que et pas .
Sinon, la suite, sur le principe c'est O.K.

[Ben314]

Salut,
Déjà, là où ça commence mal, c'est que et pas .
Sinon, la suite de ce que tu fait, sur le principe c'est O.K.

Par contre ça :

Les entiers 7 et 18 etant premiers entre eux,
leur ppcm est egal a 7 *18 = 126 et la solution generale est donnee par x = 4+126n
et y = -10 -126n, avec n entier.

C'est du grand n'importe quoi et il suffit de remplacer x par 4+126n et y par -10 -126n dans l'équation 18x+7y=2 pour voir que non seulement tu as pas toutes les solutions (le 126 est trop grand), mais même que... c'est pas des solutions de l'équation...

[Vlad-Drac]

cest bien ce que je pensais pourtant c'est le pdf du corrigé du prof ...

[nodgim]

18 x + 7 y = 2

Déjà pour trouver la solution tu n'as pas fourni de méthode, on ne sait pas comment tu as fait.
Mettons maintenant que tu as trouvé le couple (x,y) = (a,b)
18 a + 7 b = 2
tu peux alors écrire immédiatement
18 ( a + 7k) + 7 (b - 18k) = 2
car 18*7k et 7*18k s'annulent
Ensuite, tu peux effectivement chercher si 18*7 est le ppcm de 18 et 7. Car sinon (si 18 et 7 ne sont pas premier entre eux), tu vas louper des solutions. Et donc tu as intérêt à faire cette démarche de recherche de ppcm assez tôt.

[Black Jack]

Salut,

Pour moi, les solutions (dans Z²) de 18x + 7y = 2 sont:

x = 4 + 7k
y = -10 - 18 k
avec k dans Z

[pascal16]

avec le meme raisonnement j'obtient y=-18k-8

non, tu obtiens y=-18p-8 avec p dans Z, le premier k et le second k ne sont pas forcément les mêmes

ensuite tu ré-écris l'équation de départ.
tu tombes sur un truc du genre 126(k-p)=108, 126 et 108 ne sont pas premiers entre eux, ce qui te conduit à la réponse de Black Jack.