Projection orthogonale

[dut38]

Bonsoir,
Je n'arrive pas à faire un exercice sur les matrices.

le voila:
Dans R^3 muni du produit scalaire usuel déterminer la matrice de la projection orthogonale sur le plan d'équation x+y+z=0 (équation dans la base canonique).

Je n'ai pas fait de bac S et je n'ai pas vraiment les bases en maths.
Pouvez-vous m'aider SVP?

Merci
Bonne soirée

[Ben314]

Salut,
Vu son équation, ton plan P c'est très précisément l'ensemble des vecteurs orthogonaux au vecteur W=(1,1,1).

Ensuite, pour trouver la projection orthogonale sur P, c'est bête comme choux :
Tu prend un vecteur U=(x,y,z) quelconque et il faut l'écrire U=U1+U2 avec U1 dans le plan P et U2 orthogonal au plan P (le projeté de U sur P, ça sera donc le vecteur U1).
Or, comme U2 doit être orthogonal à P, il doit être de la forme U2=tW pour un certain réel t et pour trouver ce réel t, il suffit de dire que U1 = U-U2 = U-tW = (x-t ; y-t ; z-t) doit être dans P donc vérifier l'équation de P.
Ca te permet de trouver t (en fonction de x,y,z bien évidement) et d'en déduire les coordonnées de U1 = (x-t ; y-t ; z-t).

[dut38]

Merci pour la réponse
Je suis désolé mais je n'ai quasiment rien compris

w=(1,1,1) car x+y+z, si l'équation avait était 4x+2y+z w=(4,2,1)?

[Pseuda]

Bonsoir,

Une autre façon de faire. Dans la base (U,V,W) adaptée à la projection orthogonale, constituée de U et V vecteurs engendrant le plan d'équation x+y+z=0 et W (1,1,1) vecteur orthogonal à ce plan, la matrice de la projection est très simple : M = Diag(1,1,0).

Il faut ensuite déterminer la matrice de passage P de la base canonique de R^3 à la base (U,V,W) et sa matrice inverse P^-1. La matrice de la projection orthogonale dans la base canonique est alors : P*M*P^-1.

[dut38]

Comme je le disais je n'ai absolument pas les bases de maths.

Vous me donnez des termes que je ne comprends pas du tout.

[Pseuda]

Si tu n'as pas les bases, cela ne va pas être facile du tout. Ceci dit, les matrices de projections ne sont pas vues en TS, tu es donc à égalité pratiquement avec quelqu'un qui sort de S.

Il y a encore une autre façon de faire : on prend e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) base canonique de R^3 et on détermine p(e1), p(e2) et p(e3) dans la base (e1,e2,e3).

Par exemple on décompose e1=e'1+e''1, avec e'1=(x,y,z) dans le plan (vérifie x+y+z=0) et e''1 (t,t,t) dans la droite orthogonale au plan, et on résout le système (x,y,z)+(t,t,t)=(1,0,0) et x+y+z=0. On a alors p(e1)=e'1.