Devoir maison sur les suites- approfondissement

[batistecot]

Bonjour je bloque sur un exercice dans mon dm, voici le sujet:
Soit a et b deux suites définies par : a0 > 0 , b0 > 0 et ∀ n ∈ N, an+1= (an+bn)/2 et bn+1=(an x bn)/(an + bn)

1.(a) Démontrer que : ∀ n ∈ N, an+1 - bn+1 = (an^2+bn^2)/2(an + bn)
Je n'arrive pas à retomber sur l'égalité ^^
(b) Par un raisonnement détaillé, déterminer le signe de an - bn , ∀ n ∈ N*.
2. Démontrer que a et b sont décroissantes sur N*.
3. Démontrer que a et b convergent vers une même limite.

[capitaine nuggets]

Salut !

1.a) Il s'agit tout simplement de réduire au même dénominateur : !

1.b) Au lieu de regarder , avec , regarde plutôt , avec , et utilise la question 1.a)

[batistecot]

Merci ! effectivement je m'étais trompé dans un calcul d'où mon erreur à la première question

en faite je devrais regarder le signe du 1.a) et donc expliquer que si le résultat est vrai au rang suivant il l'est aussi au rang précédent ?

[capitaine nuggets]

Je m'explique, si une propriété est vraie pour tout , alors la propriété est vraie pour tout (et réciproquement). En gros, on remplace par , mais comme on est censé commencer à , doit commencer à donc on débute à .

A partir de l'expression trouvée en 1.a), quel est le signe de ?

[batistecot]

an+1- bn+1 serait positif car en haut on a des carrés et en bas une addition de deux réels positifs

[capitaine nuggets]

Oui, mais il faudrait prouver que l'on a bien , quel que soit (par récurrence). Après oui, ce sera bon.