Etude d'une fonction

[chacha778]

Bonjour à tous, j'ai un exercice à faire mais je bloque, ce qui fais que je ne vois pas trop comment aborder mon exercice

On considère la fonction fK définie pour tout x différent de -k par f(x) = x+1 + k/(x+k). K désigne un nombre réel fixé. On note Ck la courbe représentative de la fonction fk repère orthonormé.

1. Quelle est la nature de C0 ?

Je pense que c'est une courbe mais je ne vois pas trop comment l'expliquer

Dans toute la suite on prendra k différent de 0

2. Montrer que pour tout x différent de -k, f'k(x) = (x+k)2 - k / (x+k)2

Je sais que la formule est u'v - v'u/ v2 mais comme il y a x-1 cela me perturbe du coup je ne sais pas si c'est la bonne formule à faire ici

3. Montrer que l'origine appartient à toutes les courbes Ck

4. Quelle est l'équation de la tangente à Ck à l'origine ?

5. On suppose que k > 0

a. Montrer que fk a deux extremums : ak = -k - racine de k et bk = -k + racine de k

b. Vérifier les égalités fk(ak) = -(racine de k +1)2 et fk(bk) = -(racine de k - 1)2

c. Étudier les variation de fk. Tracer le tableau de variation de fk et donner les limites de fk en + l'infini et - l'infini

d. On note Ak et Bk les points de Ck d'abscisses respectives ak et bk. Montrer que (AkBk) a pour équation y = 2x-1+k

e? En déduire que les droites (AkBk) sont toutes parallèles

6. On suppose que k<0

a. Étudier les variations de fk. Tracer le tableau de variation de fk et donner les limites de fk en + l'infini et - l'infini

b. Montrer que Bk admet 2 points Ek et Fk où la tangente admet un coefficient directeur égal à 2

c. Prouver que toutes les droites (EkFk) sont parallèles à l'axe des abscisses

7. A l'aide d'un logiciel de géométrie, tracer les courbes C1, C-1 et C3

Merci d'avance pour vos explications car je ne comprend vraiment pas cet exercice !

[laetidom]

Bonjour,

ou . . . ???

1. C0 correspond à quand k = 0 ???

[chacha778]

Bonjour, f(x) vaut à votre première écriture, j'ai du mal rédigé ma fonction désoler..
Pour la 1,c'est ce qu'il y a marquer en tout cas sur ma feuille

[laetidom]

Bonjour, f(x) vaut à votre première écriture, j'ai du mal rédigé ma fonction désoler..
Pour la 1,c'est ce qu'il y a marquer en tout cas sur ma feuille

et c'est quoi ? Une courbe ou autre chose ???

[chacha778]

Une droite, non ?
Je viens de me rendre compte d'une assez grosse erreur dans f(x).. c'est f(x) = x-1 + k/(x+k) je me suis trompée dans le signe désoler..

[laetidom]

Je viens de me rendre compte d'une assez grosse erreur dans f(x).. c'est f(x) = x-1 + k/(x+k) je me suis trompée dans le signe désolée..

Une droite, non ? Oui bien sûr d'équation :

[chacha778]

Donc la nature de la courbe C0 est une droite d'équation y= x-1 pour la question 1
Pour la 2 je pensais faire (u'v)-(v'u)/v^2 mais le x-1 devant me perturbe, cela ne change rien ?

[laetidom]

Donc la nature de la courbe C0 est une droite d'équation y= x-1 pour la question 1 : oui
Pour la 2 je pensais faire [(u'v)-(v'u)]/v^2 mais le x-1 devant me perturbe, cela ne change rien ? Ce qui demandé, c'est la dérivée ? ==> oui d'accord, je viens de réussir à le démontrer !
pour f(x) tu mets tout au même dénominateur puis pour dériver tu te sert bien de ta formule et ça fonctionne bien !!

[chacha778]

J'ai déjà commencé par mettre f(x) sur le même dénominateur ce qui me fait x^2 -2x+1+k/ (x+1) ?
Par contre en faisant la dérivée je trouve x^2+2x-3+k/(x+1)^2 ?

[laetidom]

Salut,

Quelques petites erreurs semble t'il . . .

J'ai déjà commencé par mettre f(x) sur le même dénominateur ce qui me fait x^2 -2x+1+k/ (x+1) ?




Par contre en faisant la dérivée je trouve x^2+2x-3+k/(x+1)^2 ?



facile désormais de trouver la forme demandée !

[chacha778]

Bonjour, je ne comprend pas très bien, car on mettant sur le même dénominateur cela fait (x-1)(x+1) ? Enfaite je ne comprend pas comment tu trouves ça

[chacha778]

J'ai réussi à avancer jusque la 5a car je suis bloqué à celle-ci, j'ai donc trouver que (x+k)^2=k mais à partir de la, je bloque pour trouver les extremums..