Relations binaires

[ssjf]

bonjour
jaurai 1 probleme a vous soumettre;
soit E un ensemble .
1)determiner toute les relations binaire sur E qui sont a la fois symetriques et antisymetriques

2) determiner toutes les relations binaires sur E qui sont à la fois des relations d'ordre et des relations d'equivalence

pourriez vous m'aider svp
je vous remercie

[yos]

1) aRb entraine bRa et si on a (aRb et bRa), alors a=b. Donc les seuls couples admis (mais non obligatoires) sont les aRa.

2) Ici on aura les aRa pour tout a et rien d'autre. Soit une seule relation.

[ssjf]

oui je comprend ce que vous dites , merci por votre aide
j'ai une autre questions a vous posez

on me demande
soit R = ensemble vide une relation sur un ensemble E
R est elle reflexive? antisymetrique? symetrique? transitive? irreflexive?
normalement si R=ensemble vide cette relation ne contien pas de couple donc elle n'est ni reflexiv ni irreflexive ni transitive ni symetrique ni antisym
ait je raison?
merci

[yos]

La relation vide n'est pas réflexive, mais par contre elle est symétrique et aussi antisymétrique (irréflexive je connais pas).
On peut se représenter le graphe de la relation sous la forme d'un tableau à double entrée. Chaque entrée est formée des éléments de E, et on met une croix dans la case (a,b) si (a,b) appartient à R. Réflexive signifie alors que la diagonale du tableau est pleine de croix. Symétrique signifie que le tableau est symétrique par rapport à cette diagonale. Si ton tableau est vide, il est symétrique.

[ssjf]

et pourquoi elle est antisymetrique ?
(et irreflexive veut dire pour tt x ,x n'est pas en relation avec x)

[yos]

La relation vide est clairement irréflexive.
Pour l'antisymétrie :
si . Mais comme R est vide, cette implication est toujours vraie.

[ssjf]

peux tu m"expliquer clairement pourquoi la relation vide est irreflexive
et pourquoi elle est symetrique ?
et pour l'antisymetrie pourquoi l'implication pourquoi l'implication quans R est vide?
c'est trop abstrait j'arrive pas a bien cerner le probleme
merci d'avance

[yos]

Si R est vide, elle ne contient pas de couple (a,a), donc...
L'antisymétrie est moins évidente peut-être. Il faut voir que l'on exige que l'implication , et non pas ce qui est à droite ou à gauche de la flèche "". Par conséquent, si ce qui est à gauche de la flèche n'est jamais vrai, alors l'implication est toujours vraie!!!
Un peu comme l'affirmation : "si les chinois sont bleus, alors les suisses sont violets". Cette affirmation est vraie car sa prémisse est fausse.