Exercice modélisation Matrices

[barromy]

Bonjour,

J'ai un exercice de maths sur les matrices à faire et j'aurais quelques questions..
On considère une population de rongeurs, supposons que chaque femelle donne naissance à 4 juvéniles à l'âge d'1an, à 6 juvéniles à l'âge de 2ans et à 2 juvéniles au-delà. Une portée comprend en moyenne autant de rongeurs mâles que femelle. On observe les individus l'année k juste après la période de reproduction. Les femelles juvéniles (nées l'année k), ne se reproduisent pas l'année k. On note J(k) le nombre de femelles nées l'année k (nouveaux-nés), P(k) le nombre de femelles nées l'année k-1, et A(k) le nombre de femelles nées l'année k-2 ou avant. La survie des juvéniles la première année est de 60 %, elle est de 40 % entre 1 an et 2 ans et de 10 % après 2 ans. On exprime la population des femelles de l'année k par le vecteur : J(k)
P(k)
A(k)
Je dois donner le taux de fécondité, je n'arrive pas à le calculer... et je dois exprimer le vecteur donnant l'état de la population l'année k+1 en fonction de celui de l'année k.

Merci d'avance..
Cordialement

[pascal16]

[edit] : calcul sans mortalité pour voir le principe

les femelles de 2 ans ou plus sont celles qui avaient déjà plus de 2 ans plus celles qui avaient 1 an
A(k+1)=A(k)+P(k)

les femelles de 1 an sont celle nées l'an passé
P(k+1)=J(k)

et les naissances (avec 50% de femmelles) sont données dans l'énoncé par :
J(k+1) = 2J(k)+3P(k)+A(k)

PS : on remarque dans la dernière équation qu'on se re-sert de J qui économise une variable

[Ben314]

Salut,
Attention : il faut aussi tenir compte du taux de mortalité.
Les femelles de 2 ans ou plus l'année k+1, c'est 10% de celles qui avait déjà 2 ans ou plus l'année k (taux de survie =10%) plus 40% de celles qui avaient exactement 1 an l'année k (taux de survie = 40%) :
A(k+1)=10/100.A(k)+40/100.P(k)
De même P(k)=60/100.J(k)

L'énoncé aurait éventuellement pu ré-insister en écrivant en toute lettre que P(k) était le nombre de femelles née l'année k-1 et encore vivantes l'année k, mais y'a quand même la phrase "on observe la population (sous entendue vivante...) l'année k"
Idem pour pour A(k) qui représente les femelles nées l'année k-2 ou avant et encore vivante l'année k.
C'est évidement important de préciser vu que clairement, y'a que celle qui sont encore vivante qui vont avoir des petits donc c'est le nombre de vivantes l'année k dont on a besoin pour connaitre le nombre J(k) de naissances l'année k.
Enfin, bref, la formule J(k+1) = 2.J(k)+3.P(k)+A(k) n'est valable que si A(k) et P(k) désigne le nombre de femelles vivantes.

[pascal16]

ha oui, j'ai sauté la phrase :

La survie des juvéniles la première année est de 60 %, elle est de 40 % entre 1 an et 2 ans et de 10 % après 2 ans.

l'énoncé est assez clair quand aux choix, et ça simplifie l'intégration de la mortalité.

[barromy]

Merci pour vos réponses, oui il fallait bien sur prendre en compte le taux de survie...pour la formule de J(k+1) je pense qu'on doit faire comme si les femelles étaient vivantes en A(k) et P(k). J'aurais encore une question, si la population initiale était formée uniquement de 150 femelles de 1an, quelle aurait été la composition de la population après 1 cycle de reproduction?