Dm de maths spé

[Naikroz]

Bonjour, j'ai un devoir maison de maths spé mais je butte sur une équation et je viens vers vous pour peut être récolté une réponse .
L'énoncé est le suivant :
Résoudre dans N3( au cube):
xyz=4(x+y+z)
En vous remerciant d'avance , Paul.

[Lostounet]

Salut,
Supposons que x<=y <= z.

Alors x+y+z<= 3z donc 4(x+y+z)<=12z

Or xyz=4(x+y+z)
Donc xyz <=12z

Ce qui signifie que xyz <= 12z et que donc, si z est non nul, xy<12

Quels sont les entiers dont le produit est inférieur à 12? avec x<=y

Ce sont x=3, y= 4
x=1, y = 12
x=2, y= 3
x=2, y=4
...
Bon il y en a quelques uns.
Ensuite tu regardes si la valeur de z qu'on trouve est entière.

Exemple: x=2 et y=4
xyz=4(x+y+z)
8z= 24+4z
z=...

[Naikroz]

d'accord je vois , j'avais vu un corrigé de ce type sur internet mais j'hésitais, je ne savais pas s'il fallait supposer 0<x<y<z ou essayer de résoudre comme cela .
Merci beaucoup

[Lostounet]

En fait c'est l'astuce classique.
Mais on peut le supposer car c'est pareil de supposer y<=x<= z ou autre. Une fois tu trouves (x;y;z) qui marchent tu peux remarquer que (z;x;y) marche aussi (il te suffit de recopier ...)

[Ben314]

Salut,
Perso, vu la tête du truc, j'essayerais bien de copier la méthode classique concernant les équation du type xy=3x+5y+7 qu'on écrit xy-3x-5y=7 puis où on dit que xy-3x-5y, c'est "presque" (x-5)(y-3) sauf qu'il manque le +15 à la fin donc l'équation équivaut à xy-3x-5y+15=7+15 c'est à dire (x-5)(y-3)=22 et y'a plus qu'a chercher les factorisation possible de 22.

Sauf que là, il y a du xyz avec le z qui fait c..., mais on peut faire comme si c'était un paramètre pour voir ce que ça donne. Comme pour avoir du xy=... faut diviser par z, on commence par regarder le cas particulier z=0 qui donne clairement l'unique solution x=0 ; y=0 (car les entiers doivent être positifs; dans Z il y aurait d'autres solutions).
Pour z non nul on a alors :

qui permet facilement de trouver les solutions pour un fixé (il suffit de chercher les factorisations de )
Or, une fois trouvé "à la main" les solutions pour , , , c'est fini vu que, par symétrie de l'énoncé, on connait en fait toutes les solutions où une des trois variables est or, si elles étaient toutes les trois , on aurait