Equation simple

[63cpi]

Bonjour à tous,
Je cherche a résoudre une équation qui me semblait simple. La voici :
x1+x2=A1
x3+x4=A2
x1+x4=A3
x3+x2=A4
x1, x2, x3 et x4 sont inconnus, A1, A2, A3 et A4 sont connus. 4 équations et 4 inconnues je pensais pouvoir la résoudre mais je n'y arrive pas.
Pouvez-vous m'aider SVP ?

[63cpi]

Suite à une erreur de saisie je reformule la demande

Bonjour à tous,
Je cherche a résoudre une équation qui me semblait simple. La voici :
x1+x2=A1
x3+x4=A2
x1+x4=A3
x3+x2=A4
x1, x2, x3 et x4 sont inconnus, A1, A2, A3 et A4 sont connus. 4 équations et 4 inconnues je pensais pouvoir la résoudre mais je n'y arrive pas.
Pouvez-vous m'aider SVP ?

[FLBP]

Salut,
Si tu as fait un peu d'algèbre linéaire, il est plus aisé de résoudre ce système :



Cordialement.

[chan79]

salut
Tu peux remarquer que si A1+A2 est différent de A3+A4, il n'y a pas de solution. (additionne membre à membre les deux premières égalités, puis les deux dernières).
Ensuite tu supposes A1+A2=A3+A4
Tu trouveras une infinité de solutions

[63cpi]

Je suis désolé de répondre aussi tardivement, mais il me fallait du temps pour comprendre.
Chan79, merci beaucoup, j’ai bien intégré que si (A1+A2) est différent de (A3+A4) alors il n’y a pas de solution ; et si (A1+A2) = (A3+A4) alors il y a une infinité de solution.

Mais j’ai remarqué que dans ce cas pour une valeur donné par exemple pour chaque valeur attribuée à A1 alors (A2-A1) et (A4-A3) reste constants, ce qui est commun à toutes les solutions.
Je ne sais pas le démontrer dans le cas général mais sur des exemples cela fonctionne bien.

Cela me laisse un espoir pour mon problème, quoi que c’est peut-être insolvable, mais je souhaite en avoir le cœur net.

Voici le problème posé autrement, sous forme « d’image ».
Une courbe, un dessin, une image ou une photo peut être transposée en un tableau de points, ou une matrice (comme suggéré par FLBP), dans lesquels on peut attribuer une valeur à chaque point.
On peut travailler sur des objets à une dimension, mais je préfère travailler sur des objets à 2 dimensions, une surface, qui est correspond plus à une photos, cela laisse plus de libertés.

Voilà, prenons une photo, une ensemble de valeurs pour chaque case d’un tableau. Pour simplifier disons que ce tableau est carré, image carré et de coté impaire de manière à avoir un centre.
Ce premier tableau appelons le I1.
Prenons une seconde image différente, tableau de même dimension appelé I2.
En additionnant les 2 images (I1+I2) on obtient un tableau où chaque case correspond à la somme des valeurs de chaque case respectives et correspondantes de I1 et I2.

Maintenant on tourne l’image I2 ou le tableau I2 de 180° par rapport à son centre (voilà pourquoi le coté devait être impaire). On obtient alors le tableau I2(180°)
On peut calculé (I1+I2(180°))

Ma question est la suivante : si on connaît les valeurs du tableau (I1+I2) et les valeurs du tableau (I1+I2(180°)) peut-on retrouver les valeurs du tableau I1 et celles du tableau I2 ? Ou à défaut de trouver directement les tableaux I1 (et I2), trouver des tabeaux dont les différences entres les valeurs des cases seraient respectées, autrement dit I1 (et I2) à une constantes près ou un facteur près.

Dans un premier temps on peut utiliser des tableaux 3x3 ou 5x5 bien qu’une image a beaucoup plus de points. I1 et I2 au centre ne serait pas calculable, mais les autres cases peut-être ?

D’autres transformation géométriques simples sur I2 peuvent-être utilisées, rotation de 90°, translations d’une distance … Pour la translation seules les zones communes dans les images résultantes peuvent être utilisables.

En résumé quelles seraient au minimum les opérations géométriques à faire (s’il y en plusieurs à faire) (I1+I2), I1+I2(180°, I1+I2(90°) … (I1+I2 (translation d’une valeur X)) … pour pouvoir reconstituer les tableaux I1 et I2 à partir des résultats ?.(à une constante ou facteur près).

[63cpi]

Pas de solution, trop complexe, ou solution possible ?

[pascal16]

la matrice de FLBP n'est pas inversible.
Ses valeurs propres sont 2,0,0 et -1

tu peux quand même faire un pivot de Gauss.
par exemple (solution variable suivant le choix du pivot).
remontée de mon pivot :
x4 : tu prends ce que tu veux
il faut ensuite : A1+A2=A3+A4
x3=A2-x4
x2=A1-A3+x4
x1=A1-A1-A3+x4

[63cpi]

Je ne sait pas ce qu’est un pivot de Gauss.
Toutefois si : A1+A2 = A3 + A4 effectivement il y a une infinité de solution.
donc si X4 est donné
X3 = A2 - X4
X2 = A4 - A2 + X4
X1 = A3 - X4 (et non X4 - A3 comme pascal16)

Mais on a aussi :
X3 - X1 = A2 - A3
X4 - X2 = A2 – A4
Ce qui démontre avec la méthode par retournement de 180° que pour 2 pixels symétriques par rapport au centre de l’image (cases symétriques par rapport à une matrice centrée) la différence d’intensité (ou de valeur dans la matrice) est calculable dans chacune des images sources.
Peut-être alors peut-on envisager de pouvoir reconstruire chaque image source à une constante prés ?

[pascal16]

le pivot de gauss, c'est la résolution par combinaison bien menée:
tu gardes la première ligne, sachant que le nombre devant la première variable est non nul (sinon, tu inverses deux lignes).
avec cette première ligne, tu élimines toutes les occurrences de la première variable dans les autres lignes

x+y+z=a
2x-y=b
y+z=c

on garde x+y+z=a
on enlève 2 fois la première ligne à le seconde, comme ça, x s'en va.
la troisième n'a pas de x, il n'y a rie à faire
le système devient :
x+y+z=a
-3y-2z=b-2a
y+z=c

le deux dernière lignes sont un système 2x2, on refait le même principe pour éliminer y dans la dernière ligne.
la dernière ligne donne z.
l'avant dernière donne y car on connait z
la première donne x car on connait y et z


si au cours de la résolution on tombe sur
2=1 -> il n'y a pas de solution
0=0 -> il va nous manquer une ligne pour résoudre, il faudra imposer une des variables (c'est ton cas ici).