PGCD; a+b premiers entre eux etc

[turbowc]

Bonjour tout le monde !

Voila j'ai un exercice de spécialité maths que je n'arrive pas à finir :

Soit a et b deux entiers naturels premiers entre eux.

1) Montrer que a+b et ab sont premiers entre eux.

2) a) Développer et réduire (a+b)²-3ab.
b) En déduire que a+b et a²-ab+b² sont premiers entre eux, soit divisibles par 3.

3) Démontrer que PGCD(a+b;a²-ab+b²)=PGCD(a+b;3)

Réponse :

1) Démonstration par l'absurde :
Supposons qu'il existe c tels que c|(a+b) et c|ab :
Si c|ab, alors c|a ou c|b, supposons que c|a :
c|(a+b) et c|a donc c|(a+b-a) donc c divise b ; or a et b sont premiers entre eux, on ne peut pas avoir c|a et c|b; par conséquent l'hypothèse de départ (c|a+b et c|ab) est fausse.
On obtient la même conclusion pour c|b donc a+b et ab sont premiers entre eux.

2) a) (a+b)²-3ab=a²+2ab+b²-3ab=a²+b²-ab

Je n'arrive pas à faire la suite. Besoin d'aide.

Merci d'avance.

[Imod]

Je n'ai pas regardé le 2 mais pour le 1 ne pas oublier de préciser que c est premier sinon c peut très bien diviser ab sans diviser a ou b , prendre par exemple : a=9 , b=4 et c=6 .

Imod