Entiers premiers entre eux - TS spé

[Jota Be]

Bonsoir,
je cherche à déterminer qu'il n'existe pas de d appartenant à N* tel que d=PGCD(n²+n;2n+1) et tel que d soit différent de 1. Mon but est de montrer que (n²+n)/(2n+1) est irréductible, donc j'ai commencé par un raisonnement par l'absurde. Me reste plus qu'à vérifier que le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, et le tour sera joué !
Merci à ceux qui voudront bien partager de leur temps pour me donner quelques indices.
Au fait, ce serait sympa de me dire si mon raisonnement est bon (suffisant) et s'il n'y a pas de choses qui manquent encore.
Merci d'avance.

[XENSECP]

Que donne la division euclidienne de n²+n sur 2n+1 ?

[Jota Be]

Que donne la division euclidienne de n²+n sur 2n+1 ?

Bonsoir et merci de ta réponse XENSECP,
je t'avoue que j'ai des lacunes pour déterminer le pgcd de deux entiers (exprimés en fonction de n), notamment quand il est demandé "suivant les valeurs de n". Merci de m'aider.

Pour la division euclidienne, je rame ! C'est stupide...

[Jota Be]

petit up, je n'ai aucune piste.

[Nightmare]

Hello,

une idée qui marche souvent dans ce genre de situation, c'est d'utiliser le fait qu'un diviseur commun à deux nombres divise toutes les combinaisons linéaires (à coefs entiers)de ces deux nombres.

Autrement dit, ici, il s'agirait d'essayer de trouver une combinaison linéaire entière de n²+n et de 2n+1 qui nous permettrait d'en déduire des choses sur les diviseurs commun.

Par exemple, 2(n²+n)-n(2n+1)=n donc si un nombre p divise à la fois n²+n et 2n+1, alors il divise n.

L'idéal, serait de trouver une combinaison linéaire qui fasse 1.

[Jota Be]

Hello,

une idée qui marche souvent dans ce genre de situation, c'est d'utiliser le fait qu'un diviseur commun à deux nombres divise toutes les combinaisons linéaires (à coefs entiers)de ces deux nombres.

Autrement dit, ici, il s'agirait d'essayer de trouver une combinaison linéaire entière de n²+n et de 2n+1 qui nous permettrait d'en déduire des choses sur les diviseurs commun.

Par exemple, 2(n²+n)-n(2n+1)=n donc si un nombre p divise à la fois n²+n et 2n+1, alors il divise n.

L'idéal, serait de trouver une combinaison linéaire qui fasse 1.

Salut Nightmare !
Merci beaucoup pour ta réponse. C'est ce que je pensais aussi puisqu'il m'est arrivé de l'avoir fait une fois en classe (pour n et n+1). Mais j'avais peur que cela fasse un peu tâtonnement...
Est-ce que l'algo d'Euclide étendu m'aidera ici ? J'ai aussi du mal avec !

[beagle]

j'y sais pas si j'ai bien suivi Night,
mais si on veut faire
n(n+1) et 2n+1

on peut chercher facteur commun entre n et 2n+1
(2n+1)-2n= 1

et facteur commun entre (n+1) et (2n+1)
(2n+1)- 2(n+1) = 1

c' est ça le principe de combi linéaire qui font 1 Night?

[Nightmare]

Oui, c'est le principe!

:happy3:

Edit : En fait non, j'avais mal lu, ce n'est pas le principe ! Tu ne peux pas séparer les facteurs comme ça.

[beagle]

ah good, c'est pas mal ce truc alors.
Faut que je regarde ça!

[beagle]

ah so bad!
mais si facteur commun entre n(n+1) et autre truc,
il y a du commun dans n ou dans (n+1)
ou dans les deux non?

[Nightmare]

Voici un exemple du principe :

2(n²+n)-(2n+1)=n donc un diviseur commun à n²+n et 2n+1 est aussi commun à n.

Du coup il est commun à 2n+1-2*n=1, donc le seul diviseur commun possible est 1.

[Nightmare]

n et n+1 sont premiers entre eux, donc si un diviseur premier divise le produit c'est qu'il divise l'un des deux (Gauss). Mais les produits ne seront pas toujours premiers entre eux.

[el niala]

ou direct par -4(n²+n)+ (2n+1)(2n+1)=1

[beagle]

n et n+1 sont premiers entre eux, donc si un diviseur premier divise le produit c'est qu'il divise l'un des deux (Gauss). Mais les produits ne seront pas toujours premiers entre eux.

ah vi, suis un peu naze ce soir, scusez!

mais pour avoir n(n+1) / (2n+1) irréductible
si je veux réduire, faut ben que je prenne dans n ou dans (n+1) ou dans les deux
le problème peut bien se diviser
en si n/(2n+1) irréductible et
si (n+1)/ (2n+1) irréductible
alors
n(n+1) / (2n+1) irréductible

j'ai les paupières qui tombent, je vais aller au lit après bouffer!
je relis ça plus tard!

[Jota Be]

d|2n+1 et d|n²+n
D'une part, d|2n²+n or d|2n²+2n d'où d|(2n²+2n)-(2n²+n) => d|n
Comme d|n (par conséquent d|2n) et comme d|2n+1, on peut dire que d|(2n+1)-2n, soit d|1
Or le seul entier naturel divisant 1 est 1 donc d=1.
Est-ce que ça se tient ?

Edit : il me semble en fait que oui, plus je me lis.
J'ai suivi tes conseils Nightmare, et le théorème de divisibilité des combinaisons linéaires fonctione très bien à mon avis.
Encore merci !

[sad13]

oui c'est bon mais tu peux raccourcir en suivant l'idée de El niala car elle t'as proposé une combinaison linéaire qui donne un c'est "tout en un" lol

[sad13]

Night, tu t'es trompé mais il s'en ai rendu compte:


2(n²+n)-(2n+1)=n donc un diviseur commun à n²+n et 2n+1 est aussi commun à n.

C'est plutôt : 2(n²+n)-n(2n+1)=n

[el niala]

oui c'est bon mais tu peux raccourcir en suivant l'idée de El niala car elle t'as proposé une combinaison linéaire qui donne un c'est "tout en un" lol

il plutôt (l'article el c'est masculin) :zen:

mais ça n'a guère d'importance

[sad13]

lol pas forcément el bintou en arabe signifie la fille.....

[Jota Be]

Bonsoir à tous et à toutes,
Aujourd'hui, en contrôle, j'ai eu un exo intéressant (que je restitue de mémoire, vu que j'ai perdu l'énoncé :hum: ) :

III)

a) Montrer que pour tout entier p de A, il existe un entier q tel que pq;)1 [47].

On admet dans la suite de l'exercice que pour chaque élément p de A (A est l'ensemble des entiers de 1 jusqu'à 46), il existe un unique entier inv(p) appartenant à A tel que p.inv(p);)1 [47]. Ainsi, par exemple, inv(2)=24 puisque 2*24=48 et 47|48-1...

b) Déterminer les entiers p de A tels que p=inv(p) (je vous donne un indice : dans un des exercices précédents, il était question de montrer que si ab;)0 [47], alors soit a;)0 [47] soit b;)0 [47] puis d'en déduire que si a²;)1 [47] alors soit a;)1 [47] soit a;)-1 [47], ce qui est une des conséquences de Gauss).
c) Montrer que 46!;)-1 [47]

Voilà, j'ai pas réussi la a) alors qu'en y réfléchissant à tête reposée, c'est faisable avec Bézout (un de mes amis a même utilisé Fermat).
La b) est faite et la c) aussi (j'ai dû admettre la a)).
Pour la c), j'ai commencé par reprendre la question b) en disant qu'il n'existait que deux entiers de A (que j'ai déterminé) tels que p=inv(p). Puis j'ai senti qu'il y avait une application bijective (puisqu'on admet qu'à chaque p, il n'existe qu'un unique inv(p)) mais je n'ai pas réussi à le montrer. J'en ai parlé à ma prof qui m'a assuré que j'avais flairé une bonne piste mais qu'il fallait déterminer la "fonction bijective" pour en discuter, vu qu'elle est suggérée implicitement. J'aimerais savoir comment vous auriez fait.

Merci d'avance et à bientôt.

PS : il peut y avoir des fautes dans cet énoncé (je le restitue de mémoire grâce à ma feuille de brouillon). Si tel est le cas, vous seriez gentils(lles) de me le faire remarquer.

PPS : pour la question a), il est sans doute nécessaire que je vous précise que j'avais à résoudre l'équation Diophantienne 23x+47y=1 dans l'exercice I)