Suites et récurrences

[Pierre39290]

Bonjour ,

Je fais un dm pour la rentrée je bloque sur un exo de suite dont voila l'énoncé :



Il me semble avoir réussi les deux premières questions :
Pour la 1 ère il suffit d'additionner Un+1 et Vn+1 et on se retrouve avec Un + Vn = 2
Pour la seconde j'arrive au résultat suivant :
X0 = 1/5
Xn + 1 = 1/6Vn - 2/15

J'ai des gros doutes la dessus.

Et ensuite je bloque .
Pour la question 3, pensez vous que je doive exprimer Xn sous la forme Xo * Q^n ?

Merci de votre aide

Pierre

[infernaleur]

Pour la 2) tu dois montrer que (xn) est une suite géométrique.
Donc montrer que x(n+1)=q*x(n) où q est la raison.

x(n+1)=V(n+1)-4/5=U(n)/3 +V(n)/2 - 4/5

arrivé à la tu utilise le fait que U(n)=2-V(n) et que V(n)=x(n)+4/5 pour exprimer x(n+1) en fonction de x(n) uniquement.
Tu pourras ainsi déterminer la raison de la suite (xn)

[infernaleur]

Je trouve que (xn) est une suite géométrique de raison 1/6 si je n'ai pas fait d'erreur

[infernaleur]

Pour le reste des questions , 2)b et 2)c ce n'est que des questions de cours et des manipulations des formules des questions précédentes.
Je te laisse voir sa si tu as des questions n'hésite pas

[Pierre39290]

Merci beaucoup je trouve le meme résultat .
Et pour la question 3 :
Xn = 1/5 * (1/6)^n

Merci beaucoup

[infernaleur]

Ok parfait, tu peux me dire les expressions de Un et Vn que tu trouves pour qu'on puisse faire la dernière question ?

[Pierre39290]

Donc théoriquement : on sait que Vn = Xn + 4/5 donc d'après Xn
Vn = 1/5*(1/6)^n + 4/5
Et Un = 2 - Vn
Donc Un = 6/5 - 1/5 *(1/6)^n

C'est ca ?

[infernaleur]

Oui parfait ! Maintenant pour la dernière question on te demande de calculer la somme des Uk (k allant de 0 à n).
C'est-tu comment faire ( et c'est un devoir pour qu'elle classe pour savoir si tu as des notions sur les sommes déjà)

[Pierre39290]

Pour la question 2)c) les limites sont 4/5 et 6/5

Pour la question 3)
C'est la somme des n termes de la suite Un non ?

[infernaleur]

Oui pour les limites.
Pour la 3) tu dois calculer en gros Sn=U0+U1+...+Un

[infernaleur]

Sais-tu que vaut cette somme ?

[Pierre39290]

Pour nous ce serait donc Uo * 1-q^(n+1) / 1-q
Ce qui donne (1 - 1/6^(n+1))( / (1 - 1/6) ?

[infernaleur]

Non, je te conseille de remplacer U0,U1,...,Un par leurs expressions explicites que tu as déterminer dans la question 2
Donc U0+U1+...+Un=[6/5-1/5*(1/6)^0] + [6/5-1/5*(1/6)^1]+....+[6/5-1/5*(1/6)^n]
Maintenant factorise par 1/5 et tu devras utiliser ton cours

[Pierre39290]

La formule a utiliser n'est pas la formule de la somme des termes d'une suite ?

[infernaleur]

Pour nous ce serait donc Uo * 1-q^(n+1) / 1-q
Ce qui donne (1 - 1/6^(n+1))( / (1 - 1/6) ?

La formule que tu as écrite est dans le cas d'une suite géométrique !
Or, Un ne l'est pas on ne peut donc pas l'utiliser

[infernaleur]

La formule a utiliser n'est pas la formule de la somme des termes d'une suite géométrique !!!!!?

Cette formule tu vas devoir l'utiliser en effet mais pas tout de suite :

Quand tu isole les 6/5 et que tu factorise par 1/5 tu obtiens :
Sn=6/5 + ...+6/5 - 1/5 * [ (1/6)^0 +(1/6)^1 +...+(1/6)^n]
la tu reconnais la formule de la sommes des termes d'une suite géométrique pour (1/6)^0 +(1/6)^1 +...+(1/6)^n.
Tu peux utiliser ta formule

[Pierre39290]

Donc Sn = n + 1 *6/5 - 1/5 * (1 - 1/6^(n+1)) / (1 - 1/6)
Je suis pas trop sur :p

[infernaleur]

Ok mais fait attention aux parenthèses Sn = (n + 1 )*6/5 - 1/5 * (1 - 1/6^(n+1)) / (1 - 1/6)
Et tu peux simplifier cette expression en calculant 1-1/6=5/6
Pour vérifier si ton expression est bonne calcule S0 et S1 et regarde si c'est bon.

[Pierre39290]

Je trouve le bon résultat
Merci beaucoup pour votre aide !

[infernaleur]

Pas de soucis , bonne continuation et à bientôt sur le site.