Ker V (classique)

[ilies77]

Salut à tous , j'aurai une question ,

Montrer que ker v est stable par u ? Sachant que u(v(x)) = v(u(x)

Je révise mon partiel et je bug sur la correction de cet exercice plutôt classique ..

(Bien évidemment j'ai appris les définitions de ker, Im Et de l'endomorphisme mais je ne parviens pas à comprendre malgré tout)

Merci d'avance

[zygomatique]

salut

si x est dans Ker v alors v(x) = 0 donc u(v(x)) = u(0) = 0

or u(v(x)) = v(u(x)) donc v(u(x)) = 0 donc u(x) est dans Ker v donc u laisse stable Ker v

[ilies77]

Pourquoi u(0) = 0 du coup, c'est ici que je ne comprenais pas lors de la correction

[zygomatique]

et quelles sont la définition et propriétés d'une application linéaire ...

[ilies77]

Je dirais qu'une application linéaire est une application vérifiant ceci : ( f étant l'application Et k un réel)

f(kx) = k*f(x)

Non?

[zygomatique]

alors révise ... au lieu d'essayer ...

[ilies77]

Je vois pas où je dois réviser étant donné que la seule définition que nous possédons est celle-ci ainsi que celle qui dit qu'une application linéaire vérifié aussi f(x+y) = f(x) + f(y) . Bref merci quand même bonne soirée .

[pascal16]

f(x+0*y)
d'un coté, vaut f(x+0)=f(x)
d'un autre coté, vaut f(x)+f(0*y)=f(x)+f(0)
pour avoir l'égalité, il faut que f(0)=0

f(x+x)
d'un coté = f(2x)
d'un autre coté : = f(x)+f(x) = 2f(x)
donc, déjà avec ta définition, pour tout n entier f(nx)=nf(x)
on peut ensuite l'étendre aux fractions, puis aux réels.

[Pseuda]

Pourquoi u(0) = 0 du coup, c'est ici que je ne comprenais pas lors de la correction

Bonjour,

u(0)=u(0x)=0.u(x)=0.

Car dans un e.v. 0x=0 pour tout vecteur x. C'est une propriété du cours que tu dois connaître, et qui se montre par... (comme dit zygomatique, regarde dans ton cours).

[ilies77]

A vrai dire je ne l'avais pas dans mon cours bizarrement, j'ai demandé à un ami d'une autre classe son cours et il avait la propriété sur le diaporama, en effet c'est tout de suite + clair ! merci

[zygomatique]

Je dirais qu'une application linéaire est une application vérifiant ceci : ( f étant l'application Et k un réel)

f(kx) = k*f(x)

Non?

ouais ben non seulement ton cours m'a l'air très incomplet ... mais aussi il n'est pas interdit de penser : ici tu as un exercice qui porte sur les espaces vectoriels !!! donc quand on demande ce qu'est une application linéaire on réfléchit deux secondes avant de sortir ce qui a été vu au collège ... pour donner une définition complète d'une application linéaire entre espaces vectoriels

enfin même avec ce morceau on s'en sort : si f(x) = kf(x) alors avec k = 0 on obtient donc trivialement : f(0) = 0

la relation f(kx) = kf(x) ne suffit pas à définir une application linéaire dans des espaces de dimension supérieure à 2

dans R c'est trivial puisque tout vecteur est colinéaire à tout vecteur et c'est pour cela que les fonctions x --> ax sont appelées fonctions linéaires

ainsi dans R si f(x) = ax alors f(u + v) = f(u) + f(v) pour tout vecteur u et v

mais en dimension supérieur à 2 on ne peut pas obtenir cette relation à partir de la seule relation f(x) = ax et c'est pourquoi elle fait partie de la définition d'une application linéaire !!