ABCD est un rectangle tel que AB=12 et AD=8.
M étant un point du segment [AD], on construit le quadrilatère MNPQ comme indiqué sur la figure ci-dessous, avec AM=AN=CP=CQ.
On pose AM=x avec x ∈ [ 0;8 ].
1) Exprimer en fonction de x l'aire du triangle MAN ainsi que l'aire du triangle NPB.
2) On note f(x) l'aire du quadrilatère MNPQ.
a) Exprimer en fonction de x l'aire du quadrilatère MNPQ.
b) Dresser le tableau de variation de de la fonction f. Justifier soigneusement.
Au besoin on pourra admettre que, pour tout réel x de l'intervalle [ 0;8 ], f(x)= -2x²+20x.
c) En déduire la valeur maximale de l'aire du quadrilatère MNPQ.
Voila ce que j'ai fait :
1) Aire(MAN)= x²/2
Aire(NBP)= x²/2-10x+48
2)a) Première méthode : soustraction
96-[2(x²/2)]-[2(x²/2-10x+48)]= -2x²+20x
Deuxième méthode : pythagore
MN²= 2x²
NP²= (12-x)² + (8-x)²= 2x²-40x+208
Aire(MNPQ)= MN*NP=
Si x= 2, avec la méthode 1 je trouve bien 32, alors que avec la deuxième méthode je trouve environ 32,9.
Une idée ?
2)b) x 0 5 8
V de f croissante décroissante
50
Comment justifier "soigneusement" ?
2)c) L'aire maximale est donc f(5)= 50.
