Polynôme et SEV

[Mikedz]

Bonjour, pourriez vous m'aider svp sur cette exo

Soient x1, ... , xp p éléments distincts de K. On considère l'ensemble F = { A appartient à K[X] / A(x1) = A(x2) = ... = A(xp) }

a) Montrer que F est un sous espace vectoriel de K[X] et que les éléments de F sont des polynômes de la forme (X-x1)(X-x2) ... (X-xp) Q + a où Q un polynôme et a une constante

b) Soit G = vect(X,X^2, ... , X^(p-1)) ; montrer que K[X] = F + G (en somme directe) (indication : effectuer la division euclidienne de P par (X-x1)(X-x2) ... (X-xp))

c) Quelle est la dimension de F inter Kn[X] ?

[Mimosa]

Bonjour

D'abord il faudrait préciser que est un corps infini.
Je suppose que tu sais montrer que est un sous-espace vectoriel.
Ensuite, si , pose , et montre que est divisible par

[zygomatique]

salut

(indication : effectuer la division euclidienne de P par (X-x1)(X-x2) ... (X-xp))

qui est P ?

[pascal16]

implicitement, un élément de F

[Ben314]

Salut,

D'abord il faudrait préciser que est un corps infini.

Où pense tu que cela va être utile ?

[Mikedz]

Merci
Juste pour la dimension de F inter Kn[X] est ce que ca marche si j'utilise la formule de grassman ?