Dm de spe maths

[gungin]

bonjour a tous;j'aurai besoin d'aide pour un dm de spé maths ou il faut utiliser les congruences ,notion que je ne maitrise pas bien

exercice 1:
demontrer que 1^2003+2^2003+3^2003+4^2003 est divisible par 5
j'ai deja demontrer que 1^2003 est congru a 1 modulo 5 mais je n'arrive pas a le faire pour 2.3.4
il faut determiner a quoi ils sont congrus modulo 5 mais je ne trouve pas si j'y arriverai je pourrai utiliser les proprietes d'addition de la congruence mais je bloque sur cette etape sinon j'aurai reussi

exercice 2
determiner les restes de 2^n dans la division euclidienne par 10
j'ai trouve qu ils sont ciycliques de periode 4 et qu ils valent 2.4.8.6 grace a la calculette mais je n'arrive pas a le demontrer

exercice3 (assez bizarre)
40 allumettes sont disposees sur une table et 2 joueurs prennent chacun a tour de role 1.2 ou 3 allumettes ,celui qui prend la derniere a perdu.le but de l'exercice est de determiner une strategie permettant au joueur de gagner a coup sur
je suis totalement bloqué car je ne sais pas comment commencer

merci d'avance

[Imod]

Pour l'exercice 1 :

et . donc .

Pour l'exercice 2 :

Tu as .
il n'y a plus qu'à étudier les différents cas .

Pour l'exercice 3 :

Il suffit de remarquer que l'on gagne toujours en laissant à son adversaire un nombre d'alumettes congru à 1 modulo 4 .

Imod

[gungin]

bonjour
voila j'ai reussi grace a ton aide a resoudre les exercices 1 et 3 mais je n'arrive toujours pas a faire le 2
j'ai reussi a demontrer que 2^4n+p est congru a 6^n*2^p mais apres je bloque je ne sais plus quoifaire.
pourriez vous m'aider
merci d'avance