Expression de Un

[tibolamid]

Bonjour,
je dois donner la forme explicite de Un avec comme donnée : Un+1 = 1/(1+Un) et U0= alpha
Ma piste était telle mais elle n'est pas correcte :
Un= ((n-1)+(n-2)*alpha) / ((n+1)+(n-1)*alpha)

Elle fonctionne pour les certains des termes mais pas tous, je ne sais pas comment trouver la forme correcte de Un. Merci d'avance pour votre aide

[Dasson2]

Bonjour,
Calculer U1, U2, U3 pour un début de récurrence sur Un=(1+alpha)/(n+(n-1)alpha).
A vérifier...

[Ben314]

Salut,
Montre par récurrence que, pour tout entier naturel , on a et trouve les relations de récurrences entre les différents termes (tu devrait rapidement tomber sur la suite dite "de Fibonacci"...)

Sinon, si tu as vu la notion d'homographie et son lien avec les matrices 2x2, tu peut passer par là, ça raccourcirait les calculs...

[tibolamid]

Bonjour,
Calculer U1, U2, U3 pour un début de récurrence sur Un=(1+alpha)/(n+(n-1)alpha).
A vérifier...

Cela ne fonctionne par pour U1, avec ton expression : U1=1+U0 or en réalité avec l'expression de la suite U1=1/(1+U0)

[tibolamid]

Salut,
Montre par récurrence que, pour tout entier naturel , on a et trouve les relations de récurrences entre les différents termes (tu devrait rapidement tomber sur la suite dite "de Fibonacci"...)

Sinon, si tu as vu la notion d'homographie et son lien avec les matrices 2x2, tu peut passer par là, ça raccourcirait les calculs...

Ta réponse est en effet três pertinante, je ne comprends juste pas comment mettre la suite de fibonnaci a l'interieur de l'expression de Un

[zygomatique]

salut

peut-être faudrait-il calculer u_{n + 1}(a) en fonction de u_n(a) ...

[Dasson2]

Bonjour,
Ma réponse donnée : pour n>1.
Mais est-ce nécessaire ?
De telles suites définies par récurrence peuvent être étudiées avec des dessins comme
http://rdassonval.free.fr/flash/suitef.jpg
copie d'écran d'une adaptation rapide d'un de mes programmes.
Ce programme peut être adapté à ton énoncé.
Les questions pourraient être :
suite non monotone,
limite égale à (racine(5)-1)/2, environ 0.618 ??

[Pythales]

La théorie dit que si et sont les éléments doubles (ici racines de ) la relation s'écrit . n'est pas très difficile à calculer, d'où ...

[Dasson2]

Bonjour,
J'ai essayé de donner une réponse abordable au lycée mais j'ai vu que c'était du "supérieur" ; en effet...
Une solution à vérifier est proposée sur cette copie d'écran modifiée
http://rdassonval.free.fr/flash/suitef.jpg
Merci de m'avoir aidé à passer le temps.
Bon amusement au questionneur, s'il lit les réponses...

[Ben314]

A mon avis, ce qui était attendu, c'est
- Soit de dire que, si alors ce qui signifie que l'on peut par exemple prendre avec donc par exemple .
Donc ; et, pour tout on a : la suite est la classique suite de Fibonnacci : (0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...)
Ensuite, ; et, pour tout on a donc en fait pour tout et on a donc pour tout .
- Soit plus simplement de calculer les 5 ou 6 premiers termes pour voir très clairement apparaitre la fameuse suite en question puis démontrer le résultat çi dessus par récurrence.

Ensuite, concernant l'éventuelle écriture de en fonction de , je pense que ça a forcément déjà été fait.

Sinon, si on connait un tant soit peu le calcul matriciel, face aux 4 formules de récurrence çi dessus, il doit venir à l'esprit de poser de façon à écrire les fameuses relations sous la forme avec et .
On a adonc et la route est toute tracée : il faut diagonaliser pour l'écrire avec diagonale pour obtenir .
On eut remarquer que le dont parle Pythalés correspondant en fait au changement de base induit par , son est le polynôme caractéristique de et son est le rapport entre les deux valeurs propres de .

[Dasson2]

@Ben314
Merci pour toutes ces précisions qui m'ont fait rajeunir (je suis en retraite depuis ... longtemps).
J'ai essayé de répondre à la question du questionneur et propose une solution abordable au lycée dans la copie d'écran que je viens d'actualiser.