Question sur l'expression algébrique d'une primitive

par **Benjamin** » 19 Déc 2009, 17:03

Bonjour,

Existe-t-il une expression algébrique pour la primitive de cos(a*x)*exp(x) (variable x) ?

Je pense que non, mais n'ayant pas un niveau en maths extraordinaire, je voudrais confirmation, merci :)

par **Ben314** » 19 Déc 2009, 17:14

Salut,
Si tu écrit cos(x)=(e^(ix)+e^(-ix))/2, tu trouvera rapidement l'expression de ta primitive...

P.S. : si tu ne veut pas utiliser les complexes, tu peut aussi faire deux intégrations par parties...

par **Benjamin** » 19 Déc 2009, 17:23

Effectivement, j'avais pas pensé à passer par cette écriture de cos !!
Après calcul, je trouve

exp(x)/(1-a²)*[cos(ax)+a*sin(ax)]

par **Nightmare** » 19 Déc 2009, 17:23

Ou encore, à supposer qu'on connaisse déjà les primitives, poser F:x->(Ccos(ax)+Ksin(ax))exp(x), dériver et identifier C et K pour que ça marche.

par **Nightmare** » 19 Déc 2009, 17:24

Benjamin a écrit:Effectivement, j'avais pas pensé à passer par cette écriture de cos !!
Après calcul, je trouve

exp(x)/(1-a²)*[cos(x)+a*sin(x)]

Avec ma méthode je trouve 1+a² au dénominateur.

par **Benjamin** » 19 Déc 2009, 17:26

Avec 2 ipp, je vois pas comment m'en sortir, c'est la méthode que j'avais essayé.

par **Ben314** » 19 Déc 2009, 17:27

J'ai (évidement) pas fait les calculs, mais vu que je vois absolument pas pourquoi on devrait avoir a²-1 non nul, je donnerais bien raison à....
(alors que a²+1=0 est possible dans C et effectivement produit un cas particulier...)

par **Benjamin** » 19 Déc 2009, 17:28

Nightmare a écrit:Avec ma méthode je trouve 1+a² au dénominateur.

i²=-1 xD
C'est bien un '+', merci

par **Ben314** » 19 Déc 2009, 17:29

Avec deux i.p.p., tu finit par exprimer ta primitive en fonction... d'elle même.
Il te suffit alors de résoudre une équation "du premier degré" dont l'inconnue est... ta primitive.

par **Benjamin** » 19 Déc 2009, 17:33

Ok, je vois. Je préfère les exponentielles complexes :)

par **Nightmare** » 19 Déc 2009, 17:34

Quelqu'un a une autre méthode? :lol3:

par **Ben314** » 19 Déc 2009, 17:38

A part les 3 qu'on vient d'exposer... (mais 3 ça me parrait déja pas mal)
Si tu veux, dans le loufoque, tu peut chercher une série entière (puisque la dérivée est une fonction entière) mais je pense que c'est à peine long et complexe...

par **Pafapafadidel** » 19 Déc 2009, 20:06

Au passage, comment prouver qu'on ne peut pas exprimer la primitive d'une fonction donnée?
J'ai entendu parler de Galois différentiel, mais je ne suis sûr de rien...
Ya t'il d'autres méthodes?

par **Ben314** » 19 Déc 2009, 20:10

La question est extrèmement ambigüe : qu'entend tu par "exprimer" ?
En fonction de quoi veut tu l'exprimer ?
Un exemple : peut tu me donner les primitives (sur ]0,+oo[) de
a) 1/x
b) sin(x)/x
c) sin(1/x)

P.S. : je te donne "mes" réponses dans 10 mn...

par **Pafapafadidel** » 19 Déc 2009, 20:34

Par exemple, pour

, j'ai entendu dire que quelque soit la liste de fonctions usuelles que l'on se donne, on ne peut pas exprimer sa primitive avec des fonctions de cette liste.

par **Ben314** » 19 Déc 2009, 20:42

Je donne mes réposes :

a) 1/x -> ln(x) (déf du ln = primitive de 1/x)
b) sin(x)/x -> Si(x) (déf du sinus intégral = primitive de sin(x)/x )
c) sin(1/x) -> toto(x) (déf de toto(x) = primitive de sin(1/x) )
d) e^(-x²/2) -> gaussienne(x) (déf de gaussienne(x)=...)

Bon, tout ça pour te faire rigoler un bon coup, mais aussi pour te montrer que si on ne précise pas avec quoi on veut exprimer la primitive, la question n'a pas trop de sens...

P.S. Là ou je rigole moins, c'est que la primitive de e^(-x^2/2) est considéré par un grand nombre de matheux comme une "fonction usuelle"
le mot "usuel" signifiant ici que l'on s'en sert trés souvent et que les machine à calculer à vocation statistique ont une "touche" dédiée à cette fonction qui n'est pas beaucoup plus mystèrieuse que la touche "racine carrée" d'une machine usuelle.

par **Pafapafadidel** » 19 Déc 2009, 22:01

Jme disais aussi...

Mais avant de sortir le nom de Gaussienne, il a bien fallu prouver qu'on ne pouvait pas exprimer cette primitive autrement (enfin "fallu" est un grand mot, on n'est pas obligé non plus). Bien entendu, prendre comme fonction usuelle la primitive que l'on cherche est une solution. "usuelle" n'est peut-être pas le bon mot. Je ne me rappelle plus comment on formule cela exactement, mais je suis sûr de l'avoir vu quelque part.

par **Ben314** » 19 Déc 2009, 22:48

Je ne suis pas sûr que l'on ait attendu de preuve de sa "non expression" à l'aide d'autre fonctions pour lui donner un nom : elle a un intérêt propre et donc mérite un nom propre.
Par exemple, sous prétexte que tan=sin/cos, faut il abolir l'usage de la tangente ? idem pour le sinus qui vaut cos(pi/2-x).... etc
Je ne connais absolument rien au travaux fait pour exprimer la gaussienne "autrement".
On peut facilement montrer que la primitive n'est pas de la forme f(x)e^(-x^2/2) avec f une fraction rationnelle mais au delà ???

par **quinto** » 19 Déc 2009, 23:30

On peut facilement montrer que la primitive n'est pas de la forme f(x)e^(-x^2/2) avec f une fraction rationnelle mais au delà ???
Ca utilise des techniques de théorie de Galois (différentielle).

par **Ben314** » 19 Déc 2009, 23:38

En fait qu'est ce que l'on sait précisément sur la "non expression" de la gaussienne ?
(j'y connais rien, mais, pour ma culture, ça m'interesserait)

Question sur l'expression algébrique d'une primitive

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