Problème sur les fonctions holomorphes

[Sartiti]

Bonjour je cherche à résoudre cet exercice, je bloque un peu sur la fin, je met le début de mes réponses, si ça peut aider:
I)a) Fonction h holomorphe => h est continue, de plus h(a)=0 et h'(a) =/= 0, donc h est différent de la fonction constante nulle, on en déduit qu'il existe r>0 vérifiant cette condition.
b) Première difficulté: f admet bien un pôle parce que h(a)=0, comment justifier que c'est un pôle simple ?
Pour la suite de la question: On a g holomorphe en a, et a est un pôle simple de h, on en déduit la formule (vu en cours)

II)a) f est holomorphe sur son domaine de définition, donc sur {z complexe telle que z²+z+1 =/= 0} donc sur C privée de a1, a2. Deuxième soucis: La nature des singularités
b) Simple calcul, j'ai trouvé le résultat (notation un peu longue à recopier ici)


III)1) Pas de soucis à tracer la figure
2) Je bloque ici, je n'ai jamais eu ce genre de "figure", qui combine segment et arc de cercle. Est-ce que je peux séparer l'intégrale en deux parties: le segment d'un côté et le demi-cercle de l'autre ?
3)4)5) Besoin du résultat question 2 justement.

Ci-joint l'énoncé: (un peu long pardon)

[zygomatique]

salut

1/a/ je ne vois rien de fait ...

1/b/ a est un pôle simple puisque h'(a) <> 0

IIa/ ben c'est à nouveau des pôles simples ... comme en I

sinon comment fais-tu la b/ ?

III sais-tu ce qu'est une intégrale complexe ?

[Sartiti]

Merci pour ta réponse:

a) Le fait que h soit continue (car holomorphe), différente de la fonction constante nulle (car h'(a) différent de 0) et que h(a)=0, ça ne suffit pas à conclure qu'on ait un h(z) =/= 0 pour un certain z appartenant à un disque ?

Pour la II)b) j'ai utilisé la formule Res(f,a)=g(a)/h'(a) trouvé en I avec g(z)=exp(iz) et h(z)=z²+z+1, je trouve le résultat demandé

III) Oui, on vient de le voir en cours (intégrale curviligne, théorème de cauchy/résidus, ..) mais j'ai encore un peu de mal. Peut-être se servir du théorème des résidus vu que l'on a déjà un res(f,a1) ? Je ne vois pas vraiment..

[Ben314]

Salut,

a) Le fait que h soit continue (car holomorphe), différente de la fonction constante nulle (car h'(a) différent de 0) et que h(a)=0, ça ne suffit pas à conclure qu'on ait un h(z) =/= 0 pour un certain z appartenant à un disque ?

Tu le sort d'où ton résultat ? (d'un chapeau ?)
Et quand on utilise un théorème, il est en général de bon ton de préciser lequel : là tu pense qu'il s'agit de quel théorème ?

La fonction si et
- Est-elle continue sur C ?
- Identiquement nulle ?
- Existe t'il un disque D centré en 0 tel que f soit non nulle sur D\{0} ?

[Lostounet]

Salut,

Ceci est un problème de synthèse sur les notions de base des fonctions holomorphes. Pour l'aborder, je te conseille d'avoir en tête les principaux éléments du cours utiles ici (garde le cours devant tes yeux et ne fais pas des "à peu près": note toutes les hypothèses de chaque objet car c'est vraiment facile de s'y perdre à ce niveau)

* Principe des zéros isolés (et de prolongement analytique) avec ses hypothèses (c'est ce qu'essaye de faire remarquer Ben il me semble avec sa fonction f!). Si a est un zéro... peut-il y avoir beaucoup de zéros autour de a? (sachant que la fonction est .... ET non identiquement nulle (pourquoi?))
* Singularités (pôles simples, d'ordre > 1) (singularités essentielles et singularités apparentes)
* Théorème de Cauchy et thm des résidus (que tu utilises dans la partie suivante)

Lorsque tu as une fonction holomorphe et que tu calcules son intégrale sur un lacet, tu trouves 0. Par contre, si tu calcules l'intégrale sur un lacet et que ce lacet "englobe" un pole (la fonction est holomorphe sauf en ce point), c'est ici qu'intervient le théorème des résidus: il te dit que l'intégrale de cette fonction sur ce lacet vaut
2*i*pi*Res(f, pole)*l'indice du pole par rapport au lacet

(l'indice est le nombre de fois que tu tournes autour du résidu dans le sens positif (en général ca vaut +1 ou -1)
Il peut y avoir bien entendu plusieurs résidus et dans ce cas tu as 2ipi*sommedesrésidus*indices

Le premier cas est en fait un cas particulier vu que le résidu est nul si f est complètement holomorphe à l'intérieur du lacet (aucun résidu)


Bien entendu cette prose est une vulgarisation du cours...

[Sartiti]

Salut,

a) Le fait que h soit continue (car holomorphe), différente de la fonction constante nulle (car h'(a) différent de 0) et que h(a)=0, ça ne suffit pas à conclure qu'on ait un h(z) =/= 0 pour un certain z appartenant à un disque ?

Tu le sort d'où ton résultat ? (d'un chapeau ?)
Et quand on utilise un théorème, il est en général de bon ton de préciser lequel : là tu pense qu'il s'agit de quel théorème ?

La fonction si et
- Est-elle continue sur C ?
- Identiquement nulle ?
- Existe t'il un disque D centré en 0 tel que f soit non nulle sur D\{0} ?

J'ai trop l'habitude d'être dans R, j'ai dit des bêtises, je ne vois pas quel théorème utilisé par contre.

EDIT: Le principe des zéros isolés du coup j'imagine ?

Euh si et
est continue sur C (du fait qu'en z = 0, la fonction valent 0)
non identiquement nulle (par exemple f(pi)=/=0)
la fonction f s'annule en 0 et en z=1/(*npi) avec n€Z* donc le disque ouvert D(0,1/pi)\{0} ?

[Ben314]

J'ai trop l'habitude d'être dans R, j'ai dit des bêtises

Je veut pas être méchant, mais dans R c'est toujours aussi faux : la fonction (réelle) si et est continue, non identiquement nulle et s'annule une infinité de fois sur tout intervalle ]-a,a[ aussi petit que soit a.
La seule continuité d'une fonction (de R->R ou de C->C) ne donne comme information concernant les zéro de la fonction qu'une et un seule chose : c'est un ensemble fermé (car image réciproque du fermé {0} par une fonction continue). Mais il peut être aussi biscornu qu'on veut, par exemple, ça peut parfaitement être un ensemble de Cantor, ou bien la réunion des [1/2n;1/(2n+1)] plus {0} ou n'importe quelle autre "biscornuité".

Par contre, effectivement le principe des zéros isolés, ça peut servir, mais il y a des arguments bien plus élémentaires que tu devrait déjà avoir vu dans R, par exemple le fait que la dérivée en 0 soit non nulle implique immédiatement (dans R ou dans C) qu'il existe un voisinage de 0 sur lequel la fonction ne s'annule qu'en 0.
La preuve de ce fait n'utilise que la définition de la notion de dérivée et rien d'autre donc ça fait un sacré moment que tu as du voir un tel résultat (dans R).

la fonction f s'annule en 0 et en z=1/(*npi) avec n€Z* donc le disque ouvert D(0,1/pi)\{0} ?

Dans la partie en bleue, il manquerait pas légèrement un verbe pour que ça veuille dire quelque chose ? ("je suis allé au jardin donc le lapin".)