Equation symétrique du degré 4

[picselle]

Bonjour,
Mon professeur de mathématiques nous a donné un devoir maison non-noté
J'aimerais pouvoir faire l'exercice 3 que je n'ai pas compris mais nous n'avons toujours pas vu ce type d'exo en cours et je n'y arrive pas
Il est donné : (E) désigne l'équation : x^4 − 4x^3 + 2x² − 4x + 1 = 0

On vérifie facilement que 0 n’est pas solution de (E).

1. Démontrer que si a est solution de (E) alors 1/a est solution de (E).
2. Montrer que l'équation (E) est équivalente à l’équation (E’) : x² − 4x + 2 −1/x+1/x²=0
3. Calculer (x + x 1 ) 2 . Puis montrer qu’en posant X = (x + x 1 ) l’équation (E’) se ramène a une
équation du second degré.

Si vous pouviez m'aider,
Merci

[XENSECP]

Salut,
Si a est solution avec . Maintenant on cherche à déterminer:


On peut commencer par factoriser par soit: ... ring a bell?

[picselle]

Merci pour ton aide,
mais je ne comprends pas pourquoi on peut dire que 1/a est solution de (E)

[XENSECP]

On ne dit pas que 1/a est solution, on vérifie que 1/a est solution de (E) si a est solution de (E)...

[picselle]

donc si j'ai compris ça veut dire que si a est solution de (E) alors 1/a est aussi solution de (E)

[XENSECP]

Hum c'est juste l'intitulé de la question, il n'y a rien à comprendre normalement...

[picselle]

Oui je m'en suis aperçu une fois le message mis en ligne
donc en factorisant par 1/a⁴ ça donne le résultat que vous m'avez donné mais comment peut on les mettre en relation ?

[XENSECP]

J'ai fait le plus dur ! (factoriser). Si tu ne "vois" pas le truc (et donc pourquoi je t'ai donné l'astuce) alors je ne sais pas ce que je peux faire de plus pour toi

[picselle]

Je crois avoir compris si a est solution de (E) alors 1/a est solution de (E), donc si on remplace l'écriture de départ qui est x⁴-4x³+2x²-4x+1 par a⁴-4a³+2a²-4a+1 on fait pareil avec 1/a après on factorise et on retrouve dans les parenthèses a⁴-4a³+2a²-4a+1

[XENSECP]

Mouais et donc tu en conclus quoi? Parce que la conclusion doit être "oh super 1/a est solution de (E)"...

[picselle]

On peut conclure que 1/a⁴(a⁴-4a³+2a²-4a+1)=0 car si a est solution de (E) alors 1/a aussi :
on a 1/a⁴=0 et a⁴-4a³+2a²-4a+1=0

ça peut être ça ?

[XENSECP]

C'est pas de l'à peu près qu'on te demande.

1/a est solution si l'expression donnée: 1/a⁴(a⁴-4a³+2a²-4a+1) est égale à 0 et comme a est solution tu sais que a⁴-4a³+2a²-4a+1 = 0 donc c'est fini (c'était pas fun de t'aider!).

[zygomatique]

salut

quand on connait ses identités remarquables on peut aussi remarquer que :

...

ce qui te permettra de vérifier les solutions par un autre procédé ...

[picselle]

Désolé mais j'avais prévenu que je n'avais rien compris

[picselle]

Merci quand même à vous deux et je vais essayer la technique de zygomatique