DM matrices

[Dydy13]

Bonjour à tous voilà jai un gros DM à faire sur les matrices et je galère des la première question :

Partie I :

Matrice A : (0 1/4 0)
(1 1/2 0)
(0 1/4 0)
1) calculer le produit matriciel A :
(1)
(0)
(-1). La matrice A eSt Elle inversible ?

2)calculer A^2 A^3 ét montrer que A^3 :1/2(A^2 + A)

3) montrer qu'il existe 2 suites an ét bn tel que A^n= anA^2+bnA ét vérifiant an+1= bn + 1/2an ét
Bn+1= 1/2an
Donner a1 ét b1

4) montrer que bn+1 eSt une suite linéaire d'ordre 2
5) exprimer alors an ét bn EN fonction de n

6) EN déduire que A^n= (2/3 +4/3*(-1/2)^n)*A^2+ (1/3-4/3 *(-1/2)^n)*A

Partie II :

Uo: 1 vo:0 wo:3 avec un+1: 1/4vn
Vn+1 : un + 1/2vn + wn
Wn+1: 1/4vn
On pose Xn= (un)
(Vn)
(Wn)
1) montrer que pour tout n E N, Xn+1= AXn. EN déduire que Xn=A^nXo

2) calculer AXo ét A^2Xo
3) déterminer lim un lim vn ét lim wn


Merci d'avance

[Pseuda]

Bonjour,

I. 1) As-tu effectué le produit matriciel de A avec la matrice colonne ? Et que trouves-tu ?

[Dydy13]

Je trouve (0)
(0)
(0)

Ps: jai des soucis avec la question I.1) , I.3) ét II.3) . Le reste j'ai réussi pas la peine de m'aider pour les autres

[Pseuda]

I) 1). Donc AX=0, avec X0.

Tu peux tenter un raisonnement par l'absurde : si A est inversible, alors A^-1 existe, alors ...

I). 3) : tu l'as déjà montré pour n=3 dans la question précédente ; tu peux alors le faire par récurrence ..... (je n'ai pas fait)

[Dydy13]

On n'a pas trop fait de raisonnement par l'absurde en classe donc je pense qu'il faut faire autre chose cependant votre raisonnement est certainement correcte

[Dydy13]

Oui la I.3) cest par récurrence mais je bloque deja A l'initialisation

[Pseuda]

On n'a pas trop fait de raisonnement par l'absurde en classe donc je pense qu'il faut faire autre chose cependant votre raisonnement est certainement correcte

Cela va être difficile de faire autrement : on n'a pas de propriété qui caractérise une matrice non inversible...

[Pseuda]

Oui la I.3) cest par récurrence mais je bloque deja A l'initialisation

résultat de la question I) 2) ?

[Dydy13]

I.1) par raisonnement par l'absurde comment montrer la contradiction ?

I.3) pour la I.2) : A^3= 1/2(A^2+A) donc =
1/2A^2+1/2A jai multiplier le résultat de A 2 ét A par 1/2 puis on additionne et on retrouve A3

[Carpate]

La matrice A n'étant pas carrée, il n'existe pas de matrice telle que
Comment as-tu pu multiplier une matrice de 2 lignes et 3 colonnes par un vecteur de 2 colonnes ?
Mes excuses j'avais mal lu ton énoncé (mais aussi quelle idée de ne pas aligner les éléments de la matrice)
A l'avenir écrit
soit A= \begin {pmatrix} 0&\frac14 & 0\\1&\frac12&0\\0 & \frac14 & 0\end {pmatrix} à encadrer par le marqueur tex de l'interpréteur du langage LaTeX

[Dydy13]

Et donc pour la question I.1) I.3) ét II.3) ??

[Carpate]

Pour l'inversibilité, tu peux essayer de calculer qui doit vérifier :


on voit qu'il faut que d = 1 et 2d = 0 donc pas de matrice inverse

Sinon, mais hors programme Lycée, le vecteur (1, 1, 0) appartient à ker(A) lequel n'est pas réduit au vecteur nul donc A n'est pas inversible
Autre raison : A a deux lignes identiques ...

[Dydy13]

Merci beaucoup il me manque plus que la question I.3) où il faut faire une récurrence et la II.3) ou je galère un peu