DM Terminale sur les fonctions

[Nicklo2]

Bonjour,

Je bloque sur la marche à suivre pour répondre à une question de mon DM, l'énoncé est le suivant :


On considère un réel k et la fonction f(x) = et Ck sa courbe représentative.

Démontrez que si le point M(x,y) n'appartient pas à l'axe des ordonnées, il existe une UNIQUE courbe Ck passant par M.

Merci d'avance pour l'aide !

[Lostounet]

Salut,

Il s'agit en quelque sorte d'une famille de fonctions. Le réel k te confère une marge de manoeuvre !

Par exemple si on prend un point M(a;b) quelconque fixé, dire que M appartient à une courbe Ck donnée signifie que ses coordonnées vérifient la relation f(a)=b

Donc (ka+1)/(a^2+1)=b
Attention: a et b sont deux nombres déjà imposés.

Le nombre k qui est lui,libre de varier, on peut l'exprimer en fonctions de a et b. Saurais-tu le faire?

Dans tes périples, tu auras besoin de diviser par un nombre...je te rappelle qu'on ne peut pas diviser par 0

[Nicklo2]

Merci pour ton aide si rapide !

Alors j'ai suivi tes conseil et si j'ai bien compris j'arrive à une expression de k en fonction de a et b (avec M(a;b)) :



Est-ce correct ?
Et si oui cela me permet-il de montrer qu'il n'y a qu'un seul k possible ?

[Lostounet]

Je vois pas a et b dans ton expression mais j'ai compris.
Oui c'est correct mais... pas si vite.

Tu as divisé par x! Tu n'as pas le droit si x=0. Ce que tu montré, c'est que si x est non nul, on peut trouver un unique k tel que M(x;y) est sur Ck.
Et en plus tu as trouvé sa valeur!

Par contre il reste le cas si x est nul donc si M a une abscisse nulle et qu'il est sur l'axe des ordonnées... que faire?
Indication: si x=0 ... on peut choisir k ...comme on veut

[Nicklo2]

Ah chouette mais je pense que je n'ai pas à traiter le cas ou x=0 car il est dit dans l'énoncé que l'on admet que le point n'est pas sur l'axe des ordonnés ! Mais cela prouve-t-il qu'il n'existe pas d'autre k tel que mon point se trouve sur une courbe Ck ?

[Lostounet]

Tu as trouvé une unique valeur de k pour laquelle Ck passe par le point M fixé d'abscisse non nulle! Donc oui (qqchose de la forme k=... existe et est unique)

Si tu avais eu un autre exo avec genre k^2 = 9 t'aurais eu deux k qui conviennent etc.

Par contre il serait bien vu que tu te penches sur le cas x=0 ! Tu peux expliquer que si x=0 alors tu peux prendre k=1 ou k=2 ou k=3 ou k=pi ou k = 628 tu auras toujours f(0)=1

Donc par exemple M(0;3) ... aucune courbe Ck ne passera dessus (vu que f(0) n'est jamais 3 pour aucun k)

Toutes les courbes Ck passent par (0;1) (infinité)

En quelques sortes le x=0 va engloutir ton k et vomir f(0)=1

[Nicklo2]

Merci j'ai bien compris grâce à toi.
Et justement la dernière question me demande de montrez pour M(0;Y)

- Que si Y = 1 il y a une infinité de courbe Ck passant par M mais ma formule trouvée précédemment ne me permet pas de le prouver car je ne peux pas divisier par 0

- Que si Y 1 il n'existe pas de courbe Ck passant par M. C'est exactement ce que tu m'as dit dans ta réponse précédente mais comment le prouver ?

[Lostounet]

Trop fort Lostounet xD

Que vaut f(0) pour k=1? Choisis k=1 puis calcule f(0).
Puis:
Pour k=2?
Pour k=3?

Que vaut donc f(0) toujours?

[Nicklo2]

D'accord ! f(0) vaut toujours 1 quelque soit k !
Donc ça démontre mes deux questions en fait !
Merci beaucoup pour toute cette aide !

[Lostounet]

Oui!

En fait cela va provenir du fait que pour tout nombre k, tu as

F(0)=(k*0+1)/(0^2+1)

Donc le k est multiplié par 0 et l'image de 0 n'en dépend pas elle est tjrs = 1

Donc (0;1) toutes les Ck passent par ce point
Si (0;y)et y autre que 1 pas possible! Car f(0)=1different de y

[Nicklo2]

Parfait alors j'ai juste à dire MERCI

[Lostounet]

Welcome

See u soon