Les zéros de la solution d'une équa-diff

[BenoîtL-21]

Bonjour à tous,
Voici un exercice qui me glisse entre les doigts :
" () Soit f une solution sur R+* de l'ed : .
Soit a>0, montrer que f s'annule sur ."

Avez-vous des idées ? Merci de votre aide.
Benoît

[zygomatique]

salut

si f est solution de l'équation différentielle (*) et g est solution de l'équation différentielle (+) alors h = f + g est solution de l'équation différentielle

(*) ne pose pas de pb ...
(+) est plus difficile à résoudre ...


peut-être n'est-il pas besoin de résoudre l'équation différentielle ...
on sait qu'une solution est continue puisque dérivable ... reste à montrer qu'elle change de signe sur l'intervalle [u, u + pi] ...

[Robot]

Hum hum, zygomatique, puis-je te demander une démonstration de ton assertion ?

[zygomatique]

pas d'accord avec le f et le g ?

si f" + f = 0 et g" + (a/t^2)g = 0 alors (f + g)" + ... ha oui merdcredi ...

désolé ... (et merci)

[BenoîtL-21]

Bonsoir à tous,

Bon, apparemment pas d'idée les amis ?
Cela me console de ne pas y arriver non plus, mais ça ne m'aide pas.

Je vous soumet une vague idée que j'ai :
Sur l'intervalle ,

Si on note , alors est solution de l'ed , et comme , a deux racines dans l'intervalle de longueur Pi.

L'inégalité doit forcer la solution f a avoir une racine entre les deux racines de , mais je n'arrive pas à le prouver.

Cordialement,
Benoît.

[Razes]

Ceci me rappelle l'équation d'Euler.

Si on note , alors est solution de l'ed , et comme , a deux racines dans l'intervalle de longueur Pi.

L'inégalité doit forcer la solution f a avoir une racine entre les deux racines de , mais je n'arrive pas à le prouver.

C'est un raisonnement qui se tient, d'autant plus la solution de l'équation homogène classique: est de la forme , la présence du terme à une influence principale sur la fréquence du signal qui se trouve plus grande pour au voisinage de 0, Donc le signal sera nul à plusieurs reprises dans l’intervalle , d’autant plus que est proche de zéro.

Plus on s'éloigne du zéro plus la solution converge vers la solution de l'équation homogène classique. et sera nul une à deux fois au maximum dans l’intervalle , car notre ne sera jamais égale à

On peut éventuellement chercher une solution du style :

Avec ( étant fonction de ), on a recours à la méthode de la "variation de la constante", on injecte la forme de la solution dans et je suppose qu'on peut trouver judicieusement et .
Je ne dis pas qu'on trouvera une forme simple.