Intégrale

[ralx]

Bonjour,
Je souhaiterais calculer l'intégrale suivante
J'ai trouvé le résultat avec un logiciel en ligne mais je ne sais pas comment faire. On trouve :
.
J'ai pensé à dissocier la fraction. On trouve alors facilement l'intégrale de qui vaut Argshx soit ln(x+ ). Pour l'autre terme j'ai pensé à une intégration par parties :
en posant u'= et v=x ce qui nous donne : = - 2. .
Voilà je suis bloqué en plus je n'arrive pas écrire les expressions mathématiques correctement.
Merci de bien vouloir m'aider.

[Lostounet]

Bonjour,
Je souhaiterais calculer la primitive suivante

Hello, tu t'es mis au TEX on dirait

Que penses-tu du changement de variable x = tan(y) ?

[ralx]

Je vais essayer, pardon je n'avais pas vu ta réponse j'étais encore entrain de modifier mon message.
Ca ressemble à rien snif.

[zygomatique]

salut

x = sinh y devrait être plus efficace ....

sinon remarquer que

[Lostounet]

Ah oui j'essaye sinh mais j'aboutis très bien avec mon changement de variable aussi!

[ralx]

En partant de ta remarque zygomatique j'arrive très bien à calculer l'intégrale.
=+ . J'intègre par parties en posant u'= et v=.
J'obtiens alors que =+ -=. CQFD.Par contre j'aimerais bien que tu m'expliques comment tu es passé de à +. Je vois bien que c'est juste mais je n'arrive pas à passer d'une expression à l'autre.

Pour les deux autres méthodes je me retrouve bloqué.

En posant x=sinh(y) ==> y=argsinh(x) ==> dy=dx ==>dx=dy.
On a donc = = =y+2..Là je sais pas trop quoi faire on s'éloigne de ce que l'on doit trouver.

En posant x=tan(y) ==> dx=(1+tan²(y))dy=(1+x²)dy
On a donc = =
Voilà où j'en suis .
Merci de continuer à m'aider.

[zygomatique]

salut

x = sinh y devrait être plus efficace ....

sinon remarquer que

quel est l'intérêt de faire une IPP alors qu'on reconnaît immédiatement u'v + uv' ....


pourquoi cette décomposition : parce qu'un au dénominateur m'amène fortement à penser que j'ai dérivé un ... ensuite ce n'est que du bricolage (propre bien sur)

en remarquant par exemple que 2x² + 1 = x² + x² + 1 et x² + 1 est le carré de sa racine carrée ...

x = sh t => dx = ch t dt et 1 + sh²t = ch t

or ch t > 0 donc

[ralx]

Je crois qu'il y a une petite erreur à la deuxième étape il ne devrait pas y avoir de terme en sh²t puisque 2sh²t+1=ch(2t). En tout cas le résultat est juste merci.
As-tu une idée de ce qui ne va pas pour mon intégration en posant x=tan(y) ?
Bonne soirée.

[Lostounet]

Hello,

En posant x=tan(y) ==>
Et y = arctan(x)

Notons sec(y) = 1/cos(y). On se ramène, en simplifiant numérateur et dénominateur par


Rappelons, pour info que tan^2 + 1 = sec^2(y)
Partant de ce constat,





Puisque la dérivée de tan(y) est sec^2 et celle de sec est tan.sec on a fini ! On repère la dérivée du produit:

(sec(y).tan(y))' = sec'.tan + tan'.sec = tan^2.sec + sec^3

Finalement:


Bon désolé c'est assez laborieux finalement... et il faut se souvenir de toutes les formules de trigo. Faisons comme Zygo c'est mieux!

[zygomatique]

je corrige l'erreur : un 2 qui passe en exposant ::

x = sh t => dx = ch t dt et 1 + sh²t = ch t

or ch t > 0 donc

[ralx]

Pourquoi as-tu retenu le signe + devant la racine (certes c'est la bonne réponse) mais on aurait aussi pu avoir un signe -car ==> .
Merci.

[Lostounet]

C'est parce que arctan(x) est dans] -pi/2 ; pi/2[ et que cos est positif sur cet intervalle:

1+tan^2(y)=sec^2(y)

Cos^2(y)=1/(1+tan^2(y))

Y=arctan(x)

Cos(arctan(x)) = +-1/V(1+x^2)>0 donc c'est +

[ralx]

Ok parfait.
Merci beaucoup pour toutes ces astuces et ces explications.