: Une entreprise de fonderie décide d'offrir à ces clients, comme cadeau de fin d'année, un presse-papier en forme de cône de révolution. Elle a à sa disposition des boules de terre réfractaire de 6cm de rayon. Le rôle d'un presse-papier étant d'être le plus lourd possible et la matière fondue étant homogène, la plus grande masse correspondra donc au plus grand volume. Le problème est donc de façonner ces boules des cônes de volume le plus grand possible. On rappelle que le volume d'un cône de révolution est V=pi/3 R²x, où x représente la hauteur du cône et R le rayon de la base de ce cône.
Partie A: Voici, ci-dessus, une perspective du cône de révolution inscrit dans la boule; la base du cône est le disque de diamètre [BC] et la hauteur du cône [AH]. On pose AH=x en cm. On remarquera que le point O appartient à la droite (AH).
1) Justifier le fait que 0 x12
2) Représenter la section du cône par le plan ABC et calculer HC à l'aide de x. On commencera par calculer OH (soit lorsque x plus grand que 6, soit lorsque x6) puis OH².
3) Calculer en cm^3 le volume V du cône en fonction de x.
Partie B: Soit f la fonction définie sur [0,12] par f(x)=12x²-x^3. Soit C la courbe représentative de f dans un repère orthogonale (o;i;j) (unité graphique: 1cm en abscisse et 0.5 mm en ordonnée.)
1) étudier les variations de f
2) Résoudre sur [0,12] l'équation f(x)=0
3) Déterminer une équation de la tangente T1 au point d'abscisse 6.
4) Construire la courbe C (représenter en particulier la tangente T1)
Partie C:
1) Montrer que le volume du cône, en cm^3, est V=pi/3 f(x).
2) Interpréter dans le cadre du problème les solutions de l'équation f(x)=0.
3) Déterminer la valeur de x pour laquelle le volume du cône est maximum.
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(c'est pas exactement la même image mais elle lui ressemble beaucoup ^^)
Dans la partie A j'ai réussi la question 1, mais dans la deuxième question j'ai trouvé que OH=x-6 après j'ai utilisé Pythagore et je trouve HC²=-x²-12x cependant pour faire la figure j'aurai besoin de x non? et je ne sais pas comment faire...
Dans la partie B, pour la 1, j'ai calculé la dérivée de f(x) et j'ai trouvé: 24x-3x² que j'ai factorisé (3(8x-x²)) = 8x-x² ensuite j'ai calculé delta et j'ai trouvé 64 : il y a deux solutions: x=8 et x=0
après j'ai mis que comme a est négatif f'(x) est négatif puis positif puis négatif et f(x) monte prend son maximum à 8 et redescends (je n sais pas faire le tableau sur le site... dsl) est ce que c'est juste?
pour la 2), je ne sais pas comment m'y prendre faut il le faire graphiquement? si par calcul comment faire?
pour la partie C je ne suis pas sûre de la méthode de chacune des questions...
merci d'avance pour votre aide
