Exercice sur les dérivées (t°S)

par **dodi** » 03 Oct 2006, 17:53

bonjour j'ai un petit problème sur un exercice:
"On veut montrer que: quelque soit x> ou = 0 x - sinxPour cela on considère µ(x)=sinx - x + x^3/6.Calculer les dérivées successives µ' , µ'' et µ''' de µ et en déduire le signe de µ.
Conclure."
J'ai trouvé les dérivées successives:
µ'(x)=cosx - 1 + 3x/6
µ''(x)=-sinx + 1/2
µ'''(x)=cosx
mais je ne vois pas du tout comment en déduire le signe de µ
merci de bien vouloir me donner un petit coup de pouce

par **Zebulon** » 03 Oct 2006, 18:07

Bonsoir,
on veut montrer que

.
On introduit

, définie sur [0,+

[ par

.
On veut étudier le signe de

.
On commence par calculer les dérivées successives de

. Vous avez fait une erreur à

: la dérivée de

est

.
Je vous laisse recalculer les dérivées. Essayez aussi de mmontrer pourquoi, si on arrive à démontrer que

est positive sur [0,+

[, on a montré que

.

par **fonfon** » 03 Oct 2006, 18:15

Salut zeb, oulala ça faisait un bail :we:

par **dodi** » 03 Oct 2006, 18:36

pourquoi la dérivée de x^3/6 est égale a x²/6?
parce que dans ma logique, x^3/6 = x^3 * 1/6 dc (x^3/6)'=3x * 1/6=3x/6

par **Zebulon** » 03 Oct 2006, 18:40

Quelle est la dérivée de

pour n entier?

par **dodi** » 03 Oct 2006, 18:44

c'est n*x^n-1

par **Zebulon** » 03 Oct 2006, 18:53

OK. Alors, pour n=3, ça fait...?

par **dodi** » 03 Oct 2006, 19:12

a oui j'ai oublié la puissance donc effectivement ça fait 3x² désolée

par **dodi** » 03 Oct 2006, 19:14

donc on trouve µ'=cosx-1+x²/2
µ''=-sinx+2x
µ'''=cosx+1
c'est ça?

par **Zebulon** » 03 Oct 2006, 19:17

dodi a écrit:donc on trouve µ'=cosx-1+x²/2
µ''=-sinx+2x
µ'''=cosx+1
c'est ça?

Il y a une erreur à

' :
quelle est la dérivée de

?

par **dodi** » 03 Oct 2006, 19:20

oui ça fait x pardon c'est juste une erreur de frappe

par **babaz** » 03 Oct 2006, 19:24

Zebulon a écrit:Essayez aussi de mmontrer pourquoi, si on arrive à démontrer que est positive sur [0,+[, on a montré que .

Reste à faire.

par **dodi** » 03 Oct 2006, 19:27

si sinx-x+x^3/6>ou=0
alors sinx-x>ou=-x^3/6
donc x-sinxou=0
c'est bon comme raisonnement?

par **Zebulon** » 03 Oct 2006, 19:32

Oui, c'est bon. Maintenant montrez que pour tout

,

et le tour est joué...

par **dodi** » 03 Oct 2006, 19:39

je trouve que µ'''(x)>ou=0 en partant d'un encadrement
et que µ''(x)>ou=0 en partant pareil d'un encadrement mais je voit pas comment on peut relier toutes les dérivées afin de trouver le signe de µ

par **Zebulon** » 03 Oct 2006, 19:50

Pour les dérivées, je trouve

,

et

.
Comme pour tout

, pour tout

donc

est croissante sur [0,+

[. Or

donc pour tout

,

. Déduisez-en les variations de

, puis son signe. Déduisez-en les variations de

puis le signe de

.

par **dodi** » 03 Oct 2006, 20:04

pour tout x E R cox(x)ou=0 µ'''(x)>ou=0 donc µ''(x) est croissante sur ]o;+l'infini[
or µ''(0)=0 donc pour tout x>ou=0, µ''(x)>ou=0
donc µ'(x) est croissante sur ]0;+l'infini[
or µ'(0)=0 donc pour tout x>ou=0 µ'(x)>ou=0
donc µ(x) est croissante sur ]0;+l'infini[
or µ(0)=1 donc µ(x)>ou=0
donc sinx-x+x^3/6>ou=0
donc sinx-x>ou=x^3/6
donc x-sinxet voilà fin de l'exercice
c'est juste?

par **Zebulon** » 03 Oct 2006, 20:10

C'est presque bon :
les intervalles sont fermés en 0 : [0,+

[ et

. Mais à part ça, c'est tout bon! :happy2:

par **dodi** » 03 Oct 2006, 20:25

oki merci beaucoup beaucoup beaucoup bisous

par **Zebulon** » 03 Oct 2006, 20:26

Bonne soirée et à bientôt!

Exercice sur les dérivées (t°S)

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